На основании AD трапеции ABCD взята точка E так, что [math]AE=BC[/math]. Отрезки CA и CE пересекают диагональ BD в точках O и P соответственно. Докажите, что если [math]PO=PD[/math], то [math]AD^2=BC^2+AD\times BC[/math]

Треугольник BCO подобен треугольнику DEP. Из подобия следует [math]\frac{BC}{ED}=\frac{BP}{DP}[/math]. Так как [math]ED=AD-AE=AD-BC[/math] , [math]BP=BO+OP[/math] и [math]DP=BO[/math], то пропорцию можно переписать в виде[math]\frac{BC}{AD-BC}=1+\frac{OP}{BO}[/math] (1).[br]Треугольник COP подобен треугольнику ABO, поэтому [math]\frac{OP}{BO}=\frac{CO}{AO}[/math]. Диагонали трапеции делятся в точке пересечения в отношении оснований, поэтому из последней пропорции получаем [math]\frac{OP}{BO}=\frac{BC}{AD}[/math](2).[br]Подставляем первое отношение пропорции (2) во второе отношение пропорции (1). Получаем пропорцию: [math]\frac{BC}{AD-BC}=1+\frac{BC}{AD}[/math].[br][math]BC\cdot AD=\left(AD-BC\right)\cdot\left(AD+BC\right)=AD^2-BC^2[/math] или [math]AD^2=BC^2+AD\cdot BC[/math].[br]Что и требовалось доказать.

Так как BO=DP, то [math]\frac{BP}{PD}=\frac{DO}{BO}[/math]. Так как диагонали трапеции делятся в точке пересечения в отношении оснований, то [math]\frac{BP}{PD}=\frac{AD}{BC}[/math] (1), так как [math]\frac{DO}{BO}=\frac{AD}{BC}[/math].[br][br]Так как прямые AB и CE параллельны, то они отсекают пропорциональные отрезки на прямых BD и AD, то есть [math]\frac{BP}{DP}=\frac{AE}{DE}=\frac{BC}{AD-BC}[/math] (2).[br]Из (1) и (2) получаем [math]\frac{BC}{AD-BC}=\frac{AD}{BC}[/math] или [math]AD^2=BC^2+AD\cdot BC[/math].