[b]Il limite del rapporto incrementale[br][/b][br]Data una funzione [math]y=f\left(x\right)[/math], che per comodità sia definita e continua su tutto [math]\mathbb{R}[/math], considero il suo[b] rapporto incrementale[/b] relativo al punto [math]x_0[/math] e all'incremento [math]h[/math].[br][br][math]\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}[/math].[br][br]Se viene fissato il punto [math]x_0[/math], il valore del rapporto incrementale dipende dall'incremento [math]h[/math].[br][br]Possiamo far variare l'incremento rendendolo piccolo a piacere, cioè considerare [math]h\longrightarrow0[/math].[br][br]Osserviamo che in tal caso tendono a 0 sia l'incremento della variabile indipendente ([math]\Delta x[/math]) che quello della variabile dipendente ([math]\Delta y[/math]) perciò, nel momento in cui [math]h=0[/math], il rapporto incrementale risulta non definito (la frazione che si ottiene [math]\frac{0}{0}[/math] è indeterminata).

[b]La derivata[/b][br][br]L'approccio che si può prendere in considerazione è quello dell'analisi: piuttosto che considerare il valore del rapporto incrementale per [math]h=0[/math], si considera il passaggio al limite. In questo modo la forma [math]\frac{0}{0}[/math] diventa una forma di indecisione, che può essere risolta.[br][br][b][br]Definizione[/b]:[br][br]Data una funzione [math]y=f\left(x\right)[/math] definita e continua nel punto [math]x_0[/math], si dice derivata della funzione nel punto [math]x_0[/math] il limite ([i]se esiste ed è finito[/i]) per [math]h\longrightarrow0[/math] del rapporto incrementale della funzione relativo al punto [math]x_0[/math], e si scrive:[br][br][math]f'\left(x_0\right)=lim_{h\longrightarrow0}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}[/math] [br][br][br][b]Significato grafico[br][/b][br]La derivata della funzione in un suo punto [math]x_0[/math] è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto [math]P\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)[/math].