Feladat:

• Legyen a sík négy adott pontja:A₁, A₂, B₁ és B₂  Adjuk meg annak a forgatva nyújtásnak a K centrumát, amely az A₁B₁ szakaszt az A₂B₂  szakaszba viszi át, valamint azt, amely az A₁A₂  szakaszt viszi át   B₁B₂–be.

  A középiskolából ismert síkgeometriai transzformációk között két olyan van, amelynek a megadásához  egyéb adatok mellett szükség van egy centrum megadására is: ez a centrális nyújtás és a forgatás. (A centrális tükrözés mindkettőnek a speciális esete.) A forgatva nyújtás e két transzformáció szorzata, azaz egymás utáni végrehajtása, ahol a két művelet centruma ugyanaz a pont. Emiatt e két művelet sorrendje felcserélhető. A forgatva nyújtás aránya nyilvánvalón a két adott szakasz aránya, szöge e szakaszok (vektorok) szöge. Egyetlen kérdés, hogy hol van a forgatás és nyújtás – közös – centruma? A₁B₁ → A₂B₂ Szerkesztés, elemezés Legyen P az A₁B₁ és az A₂B₂ egyenesek metszéspontja. Mivel  az A₁B₁ → A₂B₂  forgatva nyújtás az A₁ pontot A2-be, B₁ -et B₂-be viszi, azt a K pontot kell megkeresnünk, amelyre az A₁KA₂ és a B₁KB₂ szögek egyenlők, ez pedig az A₁PA₂ Δés a B₁PB₂Δ köré írt köröknek a P-től különböző K metszéspontja. Előfordulhat, hogy ez a két kör éppen érinti egymást, ekkor K=P. Ez akkor következik be, ha a négyszög trapéz. Ha a négyszög paralelogramma, akkor nem jön létre a keresett K pont. Ebben az esetben mindkét forgatva nyújtás eltolássá fajul. Ez a forgatva nyújtás nem csak az A₁B₁ szakaszt viszi át A₂B₂–be, hanem az  A₁B₁K háromszöget is az az  A₂B₂K háromszögbe, a köréjük írt köreikkel együtt. Ezért az A₁A₂ és B₁B₂ szakaszokat egymásba vivő forgatva nyújtásnak is K lesz a centruma. Ez a kerületi szögek tételére hivatkozva igazolható. Javasoljuk olvasóinknak az alábbi applet forrásfájljának a letöltését és tanulmányozását.

A kapott összefüggés alkalmazási lehetőségeit keresve két irányba haladhatunk tovább.   1. Tisztítsuk meg az előző rajzunkat: csak a négy adott pontra illeszkedő egyeneseket, a kapott köröket és ezek metszéspontjait tartsuk meg. Azt látjuk, hogy van az ábrán négy kör, négy egyenes és 7 pont.  Ezzel „melléktermékként” azt kaptuk, hogy: Ha adott a síkon négy általános helyzetű (egymást különböző pontokban metsző) egyenes, akkor az általuk meghatározott négy háromszög köréírt körei egy pontra illeszkednek. 

Vessük alá ezt a körökből, egyenesekből és pontokból álló alakzatot egy olyan inverziónak, amelynek a középpontja ezeknek az alakzatoknak egyikére sem illeszkedik. Ekkor a körökből ugyancsak köröket, az egyenesekből pedig olyan köröket kapunk, amelyek illeszkednek az inverzió centrumára. Eredményünk egy nagyon szép illeszkedési reláció, amely sok szép összefüggés feltárásának lehet a kezdő mozzanata. Ez az öt szabad  bázisponttal megadott dinamikus ábra olyan nyolc körből és nyolc pontból álló konstrukció, amelyben minden körre pontosan négy pont, és minden pontra pontosan négy kör illeszkedik. Ez az un. Clifford alakzat.   

Bár a Clifford alakzat bármely pontja  ill. bármely köre a többivel egyenértékű, most mégis különböztessük meg a pontokat ‑ színük megválasztásával ‑ aszerint, hogy szabadok (mozgathatók), vagy kötöttek (egyértelműen szerkesztettek). Ugyanígy megkülönböztethetők a körök is aszerint, hogy három szabad, vagy két szabad és egy kötött pont határozza-e meg őket. Ez megkönnyíti magának a Clifford tételnek a  megfogalmazását. 

• Legyen a sík öt általános helyzetű pontja  A₁, A₂, B₁,B₂ és C ! Legyen P az  (A₁,B₁,C) és az (A₂, B₂,C) ponthármasok köré írt köreinek a C-től különböző metszéspontja. Ugyanígy legyen Q az (A₁,A₂,C) és a (B₁,B₂,C) ponthármasok köré írt köreinek a C-től különböző metszéspontja. Végül legyen K az  (A₁,A₂,P) és az az (A₁, B₁,Q) ponthármasok köré írt köreinek az A₁-től különböző metszéspontja. A Clifford tétel állítása szerint a K pont illeszkedik az (A₁,A₂,P) és a (B₁, B₂,Q) ponthármasok köré írt köreire is.

Ígéretet tettünk arra, hogy rávilágítunk  a forgatva nyújtás egy másik alkalmazási lehetőségére.    2.  Induljunk ki az alábbi feladatból:

• Legyen adott a síkban az N=ABCD négyszög. Forgatva nyújtással állítsuk elő azt  az  N -hez hasonló négyszöget, amelyben az AB oldalnak a DC oldal felel meg, majd azt, amelyet úgy kapunk, hogy a BC oldalt AD-be visszük át.

     Alkalmazzuk e két műveletet az így kapott négyszögekre, majd rendre ezek képeire is. Vizsgáljuk meg az így kapott  - H-hoz, így egymáshoz is hasonló - négyszögek kapcsolatát.   Láttuk, hogy mindkét forgatva nyújtásnak ugyanaz a K pont a centruma. Jelölje T_P és T_Q ezt a két forgatva nyújtást, amelyek szögeit és arányait az A, B, C, D  pontok egyértelműen meghatározzák. Legyen     T_P(N) =N_P ,   T_Q(N_P) = N_PQ                  T_Q(N) =N_Q ,  T_P (N_Q) = N_QP      Könnyen belátható, hogy e két transzformáció szorzata ugyanazt a négyszöget állítja elő, függetlenül attól, hogy e műveleteket milyen sorrendben alkalmaztunk. Azaz  N_PQ  ≡ N_{QP  A bizonyítás részleteit olvasóinkra bízzuk.}

A fenti lefedések megszerkesztéséhez elég sokszor kellett ugyanazt a műveletet alkalmazni ahhoz, hogy érdemes legyen a "rács" kialakításához egy saját eljárást készíteni. Javasoljuk olvasóinknak e saját eljárás letöltését,  elemzését és kipróbálását.