[b][br] Feladat:[/b] [br][list][*][size=100]Legyen a sík négy adott pontja:[/size][i]A[sub]1[/sub], A[sub]2[/sub], B[sub]1[/sub][/i][size=100] és [/size][i]B[sub]2[/sub][/i][size=100]  Adjuk meg annak a forgatva [/size][size=100]nyújtásnak a [/size][i]K[/i][size=100] centrumát, amely az [i]A[sub]1[/sub]B[sub]1[/sub][/i] [/size][size=100]szakaszt az [i]A[sub]2[/sub]B[sub]2[/sub][/i] [/size][i][sub] [/sub][/i][size=100]szakaszba viszi át, valamint[/size][size=100] azt, amely az [/size][size=100][i]A[sub]1[/sub]A[sub]2[/sub][/i][size=100] [/size] szakaszt viszi át  [/size][size=100] [i]B[sub]1[/sub]B[sub]2[/sub][/i]–be.[/size][/*][/list][size=100] [/size][br][size=100]A középiskolából ismert síkgeometriai transzformációk között két olyan van, amelynek a megadásához  egyéb adatok mellett szükség van egy [/size][u]centrum[/u][size=100] megadására is: ez a centrális [/size][size=100]nyújtás és a forgatás. (A centrális tükrözés mindkettőnek a speciális esete.)[/size][br][br][size=100]A[/size][i][size=100] forgatva nyújtás[/size][/i][size=100] e két transzformáció szorzata, azaz egymás utáni végrehajtása, ahol a két művelet centruma ugyanaz a pont. Emiatt e két művelet sorrendje felcserélhető.[/size][br] [br][size=100]A forgatva nyújtás aránya nyilvánvalón a két adott szakasz aránya, szöge e szakaszok (vektorok) szöge. Egyetlen kérdés, hogy [u]hol van a forgatás és nyújtás – közös – centruma?[/u] [br][/size][size=100][b]A[sub]1[/sub]B[sub]1[/sub] → A[sub]2[/sub]B[sub]2[/sub] Szerkesztés, elemezés[/b][br][br]Legyen [i]P[/i] az [i]A[sub]1[/sub]B[sub]1[/sub][/i] és az [i]A[sub]2[/sub]B[sub]2[/sub][/i] egyenesek metszéspontja. Mivel  az [i]A[sub]1[/sub]B[sub]1[/sub][/i][/size][size=100] → A[sub]2[/sub][/size][i]B[sub]2 [/sub][/i][size=100] forgatva nyújtás az [/size][i]A[sub]1 [/sub][/i][size=100]pontot A[/size][i]2[/i][size=100]-be, B[sub]1[/sub] -e[/size][size=100]t [/size][i]B[sub]2[/sub][/i][size=100]-be viszi, azt a [/size][i]K[/i][size=100] pontot kell megkeresnünk, amelyre az [/size][i]A[sub]1[/sub]KA[sub]2 [/sub][/i][size=100]és a [/size][i]B[sub]1[/sub]KB[sub]2[/sub][/i][size=100] szögek egyenlők, ez pedig az [/size][i]A[sub]1[/sub]PA[sub]2 [/sub]Δ[/i][size=100]és a [/size][i]B[sub]1[/sub]PB[sub]2[/sub][/i][size=100]Δ köré írt köröknek a [/size][i]P[/i][size=100]-től különböző [i]K [/i]metszéspontja. [br][br][size=100]Előfordulhat, hogy ez a két kör éppen [/size][size=100]érinti egymást, ekkor [/size][i]K=P. [/i]Ez akkor következik be, ha a négyszög trapéz. Ha a négyszög paralelogramma, akkor nem jön létre a keresett K pont. Ebben az esetben mindkét forgatva nyújtás eltolássá fajul.[br][/size][br][size=100]Ez a forgatva nyújtás nem csak az [/size][i]A[sub]1[/sub]B[sub]1[/sub][/i][size=100] szakaszt viszi át [/size][i]A[sub]2[/sub]B[sub]2[/sub][/i][size=100]–be, hanem az  [/size][i]A[sub]1[/sub]B[sub]1[/sub]K [/i][size=100]háromszöget is az az  [/size][i]A[sub]2[/sub]B[sub]2[/sub]K [/i][size=100]háromszögbe, a köréjük írt köreikkel együtt. Ezért az A[/size][sub]1[/sub][size=100]A[/size][sub]2 [/sub][size=100]és B[/size][sub]1[/sub][size=100]B[/size][sub]2[/sub][size=100] szakaszokat egymásba vivő forgatva nyújtásnak is [i]K[/i] lesz a centruma. Ez a kerületi szögek tételére hivatkozva igazolható.[br][br][/size][br][size=100]Javasoljuk olvasóinknak az alábbi applet forrásfájljának a [/size][color=#0000ff][size=150][url=https://tube.geogebra.org/material/show/id/sn56K6bU]letöltését[/url] [/size][/color][size=100]és tanulmányozását.[/size]

[br][size=100]A kapott összefüggés alkalmazási lehetőségeit keresve két irányba haladhatunk tovább.[/size][br][size=100] [/size][br][size=150][b]1.[/b][/size][size=100] Tisztítsuk meg az előző rajzunkat: csak a négy adott pontra illeszkedő egyeneseket, a kapott köröket és ezek metszéspontjait tartsuk meg.[/size][br][br][size=100]Azt látjuk, hogy van az ábrán négy kör, négy egyenes és 7 pont.  Ezzel „melléktermékként” azt kaptuk, hogy:[/size][br][br][size=150]H[i]a adott a síkon négy általános helyzetű (egymást különböző pontokban metsző) egyenes, akkor az általuk meghatározott négy háromszög köréírt körei egy pontra illeszkednek. [/i][/size]

[br][size=100]Vessük alá ezt a körökből, egyenesekből és pontokból álló alakzatot egy olyan [/size][url=https://wiki.geogebra.org/hu/Inverzi%C3%B3_eszk%C3%B6z][color=#0000ff]inverzió[/color][/url][size=100]nak, amelynek a középpontja ezeknek az alakzatoknak egyikére sem illeszkedik.[/size][br][br][size=100]Ekkor a körökből ugyancsak köröket, az egyenesekből pedig olyan köröket kapunk, amelyek[/size][br][size=100]illeszkednek az inverzió centrumára. Eredményünk egy nagyon szép illeszkedési reláció, amely sok szép összefüggés feltárásának lehet a kezdő mozzanata. [/size][br][br][size=100]Ez az öt szabad  bázisponttal megadott dinamikus ábra olyan nyolc körből és nyolc pontból [/size][size=100]álló konstrukció, amelyben [/size][size=150]minden körre pontosan négy pont, és minden pontra pontosan négy kör illeszkedik.[/size][size=100] Ez az un. [/size][color=#0000ff][b][url=http://en.wikipedia.org/wiki/Clifford%27s_circle_theorems]Clifford alakzat.[/url] [/b]  [/color]

Bár a Clifford alakzat bármely pontja  ill. bármely köre a többivel egyenértékű, most mégis különböztessük meg a pontokat ‑ színük megválasztásával ‑ aszerint, hogy szabadok (mozgathatók), vagy kötöttek (egyértelműen szerkesztettek). Ugyanígy megkülönböztethetők a körök is aszerint, hogy három szabad, vagy két szabad és egy kötött pont határozza-e meg őket. Ez megkönnyíti magának a Clifford tételnek a  megfogalmazását.  [br][list][*]Legyen a sík öt általános helyzetű pontja  [color=#1e84cc][b][i]A[sub]1[/sub], A[sub]2[/sub], B[sub]1[/sub],B[sub]2[/sub][/i][/b][/color] és[i][b] [color=#0000ff]C[/color][/b][/i] ! Legyen [b][i][color=#ff0000]P[/color][/i][/b] az  [color=#0000ff][i](A[sub]1[/sub],B[sub]1[/sub],C) [/i][/color]és az [color=#0000ff][i](A[sub]2[/sub], B[sub]2[/sub],C) [/i][/color]ponthármasok köré írt köreinek a [i][color=#0000ff]C[/color][/i]-től különböző metszéspontja. Ugyanígy legyen [color=#ff0000][b][i]Q [/i][/b][/color]az [color=#0000ff](A[sub]1[/sub],A[sub]2[/sub],C)[/color] és a [i][color=#1e84cc](B[sub]1[/sub],B[sub]2[/sub],C)[/color][/i] ponthármasok köré írt köreinek a [color=#0000ff]C[/color]-től különböző metszéspontja. Végül legyen [color=#ff0000][b][i]K[/i][/b][/color] az [color=#ff0000][i] (A[sub]1[/sub],A[sub]2[/sub],P) [/i][/color]és az az [i][color=#ff0000](A[sub]1[/sub], B[sub]1[/sub],Q[/color])[/i] ponthármasok köré írt köreinek az [color=#0000ff]A[sub]1[/sub][/color]-től különböző metszéspontja. A Clifford tétel állítása szerint[u] a [color=#ff0000]K[/color] pont illeszkedik az [color=#ff0000][i](A[sub]1[/sub],A[sub]2[/sub],P)[/i][/color] és a [color=#ff0000][i](B[sub]1[/sub], B[sub]2[/sub],Q[/i])[/color] ponthármasok köré írt köreire is.[/u][/*][/list]

[br][size=100]Ígéretet tettünk arra, hogy rávilágítunk  a forgatva nyújtás egy másik alkalmazási lehetőségére. [/size][br][size=100] [/size][br][b][size=150]2.[/size][/b][size=100]  Induljunk ki az alábbi feladatból:[/size][br][list][*][size=100] Legyen adott a síkban az N=[/size][i][size=100]ABCD[/size] [/i][size=100]négyszög. Forgatva nyújtással állítsuk elő azt  az  [/size][i][size=100]N[/size][/i][size=100] -hez hasonló négyszöget, amelyben az [/size][i][size=100]AB[/size][/i][size=100] oldalnak a [/size][i][size=100]DC[/size] [/i][size=100]oldal felel meg, majd azt, amelyet úgy kapunk, hogy a [/size][i][size=100]BC[/size][/i][size=100] oldalt [/size][i][size=100]AD[/size][/i][size=100]-be visszük át.[/size][/*][/list][size=100]     [/size][br][size=100]Alkalmazzuk e két műveletet az így kapott négyszögekre, majd rendre ezek képeire is.[br]Vizsgáljuk meg az így kapott  - H-hoz, így egymáshoz is hasonló - négyszögek kapcsolatát.[/size][br][size=100] [/size][br][size=100]Láttuk, hogy mindkét forgatva nyújtásnak ugyanaz a K pont a centruma. Jelölje T[/size][sub]P [/sub][size=100]és T[/size][sub]Q[/sub][size=100] ezt a két forgatva nyújtást, amelyek szögeit és arányait az A, B, C, D  pontok egyértelműen meghatározzák.[/size][br][br][size=100]Legyen     T[/size][sub][size=85]P[/size][/sub][size=100](N) =N[/size][sub][size=85]P[/size][/sub][size=100] ,   T[/size][sub][size=85]Q[/size][/sub][size=100](N[/size][sub][size=85]P[/size][/sub][size=100]) = N[/size][sub][size=85]PQ[/size][/sub][br][size=100]                 T[/size][sub][size=85]Q[/size][/sub][size=100](N) =N[/size][sub][size=85]Q[/size][/sub][size=100] ,  T[/size][sub]P[/sub][size=100] (N[/size][sub][size=85]Q[/size][/sub][size=100]) = N[/size][sub][size=85]QP[/size][/sub][sub] [/sub][size=100]  [/size][br][size=100] [/size][br][size=100]Könnyen belátható, hogy e két transzformáció szorzata ugyanazt a négyszöget állítja elő, függetlenül attól, hogy e műveleteket milyen sorrendben alkalmaztunk. Azaz  N[/size][sub][size=85]PQ[/size][/sub][size=100]  ≡ N[/size][sub][size=85]QP[/size][size=100] [br]A bizonyítás részleteit olvasóinkra bízzuk.[/size][/sub]

[size=100]Eredményünk azt jelenti, hogy e két forgatva nyújtás felhasználásával  a sík „elég nagy” részét ki tudjuk parkettázni egy tetszőlegesen adott négyszög azonos körüljárású hasonló példányaival.[/size]

[size=100]Miért kellett hozzátennünk, hogy „elég nagy”?  Ha "túl sok" négyszöget veszünk fel,  esetleg lesznek közöttük olyanok,melyek (részben) fedik egymást.[br][br] Milyennek kell lennie a kiindulásul vett négyszögnek, ha azt szeretnénk, hogy „szinte az egész” sík lefedhető legyen hézagmentesen, egymást nem fedő, hasonló négyszögekkel?[br][br]Ehhez tudnunk kell, hogy mi a feltétele annak, hogy két, "különböző irányból felépített" négyszög  pontosan illeszkedjen egymásra. (Ezek közül csak az egyiket tartjuk meg.)[br][br]Ez messzire vezető kérdés, elemzését érdeklődő olvasóinkra bízzuk. Itt csak egy speciális esetre mutatunk példát. [br][br]Példánkban olyan deltoid hasonló példányaival fedtük be a sík egy részét, amelynek egy szöge  bizonyos határok között  tetszőlegesen változtatható. [/size]

[size=100]A fenti lefedések megszerkesztéséhez elég sokszor kellett ugyanazt a műveletet alkalmazni[/size][br][size=100]ahhoz, hogy érdemes legyen a "rács" kialakításához egy saját eljárást készíteni.[/size][br][br][size=100]Javasoljuk olvasóinknak e saját eljárás[/size][color=#0000ff][size=150] [url=https://tube.geogebra.org/material/show/id/923699]letöltését,[/url]  [/size][/color][size=100]elemzését és kipróbálását.[/size]