[br]Ezen a munkalapon olyan feladatokat fogalmaztunk meg, amelyek megoldásához elegendőek a P-modell eddig megismert saját eljárásai. Ezek mindegyike megoldható az abszolút geometria eszköztárával, azaz semmilyen formában nem használja a párhuzamossági axiómát, sőt a mérésekkel kapcsolatos ismereteket (axiómákat) sem. Így e feladatok új megvilágításba helyezhetnek több, eddig elemi geometriából ismert összefüggést.[br][br]A kitűzött feladatok részben kapcsolódnak egymáshoz, így e feladatsor végére jutva megismerhetjük az összes egybevágósági transzformációt.[br][br]A fejezet további munkalapjai ezeknek a feladatoknak az ötletekkel, magyarázatokkal kiegészített megoldásait tartalmazzák. Javasoljuk, hogy csak a feladatok önálló megoldását követően keressék fel e fejezet további munkalapjait. Az ott található appletek letöltése, offline futtatása, és a forrásfájljaik tanulmányozása ötleteket adhat egyéb feladatok megoldásához is.

[br][list=1][*]Legyen adott az [i]A, B [/i]és [i]O[/i] pont. Szerkesszük meg az [i]O[/i] középpontú [i]AB[/i] sugarú kört! [br][br][/*][*]Legyen adott az A és B pont. Szerkesszük meg az AB átmérőjű kört![br][br][/*][*]Legyen adott az AB és CD szakasz. Szerkesztéssel döntsük el, hogy melyik szakasz a nagyobb![br][br][/*][*]Állapítsuk meg (rögzítsük a képernyőn) a csúcsaival adott ABC háromszög oldalai közötti nagyságrendi viszonyt (a szakaszok mérése nélkül). [br][br][/*][*]Legyen adott az [i]O[/i] pont, valamint a [i]t[/i][sub]1[/sub]=[i](O,A) [/i]egyenes. Legyen [i] t[/i][sub]2[/sub][sub] [/sub]a[size=100] [i]t[/i][sub]1[/sub][/size][i][sub][/sub][/i]-re merőleges, ugyancsak[i] O[/i]-ra illeszkedő egyenes. Legyen a H-sík egy[i] P[/i] pontjának a [i]t[/i][sub]1[/sub]-re vonatkozó tükörképe [i]P’,[/i] majd ennek a [i]t[/i][sub]2[/sub] re vonatkozó tükörképe [i]P''[/i].  Mutassuk meg, hogy [i]P''[/i] nem függ [i]t[/i][sub]1 [/sub]megválasztásától, sem a tükrözések sorrendjétől, továbbá azt, hogy [i]P[/i][i]P''[/i] szakasz felezőpontja [i]O[/i]![br][br][color=#9900ff][b]E két tengelyes tükrözés szorzatát (egymásba ágyazott végrehajtást) nevezzük az [i]O pontra vonatkozó [/i][i]középpontos tükrözés[/i]nek. [/b][/color][br][br][/*][*]Legyen adott az [i]O[/i] pont, valamint[i] [/i]a[i] t[/i][sub]1[/sub][i]=(O,A[/i][sub]1[/sub][i])[/i] és [i]t[/i][sub]2[/sub][i]=(O,A[/i][sub]2[/sub][i])[/i] két tetszőleges, [i]O[/i]-ra illeszkedő egyenes. Legyen a H-sík egy[i] P[/i] pontjának a [i]t[/i][sub]1[/sub]-re vonatkozó tükörképe [i]P’,[/i] majd ennek a [i]t[/i][sub]2[/sub]-re vonatkozó tükörképe [i]P''[/i]. Mutassuk meg, hogy [i]P''[/i] csak az [i]O[/i] pont megválasztásától, a [i]t[/i][sub]1 [/sub]és [i]t[/i][sub]2 [/sub]egyenesek[sub] [/sub]szögétől, és a tükrözések sorrendjétől függ. Mutassuk meg, hogy a ([i][code][/code]P,O,P''[/i])∢=2α , ahol [i] α=(A[/i][sub]1[/sub][i],O,A[/i][sub]2[/sub])∢.[br][br][color=#9900ff][b]E két tengelyes tükrözés szorzatát nevezzük az [i]O pont körüli forgatásnak,[/i] ahol a forgatás szögét a két tengely szöge, irányát a tükrözések sorrendje határozza meg.[br][br][/b][/color][/*][*]Adjuk meg az [i]e[/i] egyenest az [i]O[/i] és [i]E[/i] pontjával!  Rendeljük hozzá az [i]O[/i] ponthoz a [i]0[/i] számot, E-hez az [i]1[/i]-et! Szerkesszük meg az így kapott [i]számegyenes[/i]en néhány egész számnak megfelelő pontot![br][/*][*]Folytassuk az előző feladatot! [br]Legyen [i]t[/i][sub]1[/sub] és [i]t[/i][sub]2[/sub] két olyan egyenes, amelyek [i]e[/i]-re merőlegesek és két szomszédos egész számnak megfelelő pontban metszik [i]e[/i]-t. Legyen a [i]P[/i] pont [i]t[/i][sub]1[/sub]-re vonatkozó tükörképe [i]P’[/i], ennek a [i]t[/i][sub]2[/sub]-re vonatkozó tükörképe [i]P''[/i]. Mutassuk meg, hogy [i]P''[/i] pont helye kizárólag az [i]O, E[/i] és a [i]P[/i] pont megválasztásától függ![br][br][/*][*]Általánosítsuk tovább az előző feladatot![br] Legyen egy adott [i] e[/i] egyenesen mozgó [i]O[/i],[i] E[/i] és [i]T[/i][sub]0[/sub] pont! Legyen [i]T[/i][sub]1[/sub][i] [/i]az[i] e[/i] egyenesnek az a pontja, amelyre [i]OE=T[/i][sub]0[/sub][i]T[/i][sub]1[/sub][i]=[/i]1 egységnyi. Az irányításuk is legyen azonos. Végezzük el az iménti kettős tükrözést a H sík egy tetszőleges P pontjára! Miként függ a kapott [i]P[/i]'' pont az [i]O, E[/i] és [i]T[/i][sub]0[/sub] pontok megválasztásától? [br][br][color=#0000ff][b]E két tengelyes tükrözés szorzatát nevezzük az [i]e egyenes menti 2 OE mértékű eltolás[/i]nak.[br][br][/b][/color][/*][*]Legyen adott a P-modell két egyenese [i]t[/i][sub]1[/sub] és [i]t[/i][sub]2 [/sub]. Legyen az [i]ABC[/i] háromszög [i]t[/i][sub]1[/sub]-re vonatkozó tükörképe [i]A’B’C’[/i] , majd ennek[i] t[/i][sub]2[/sub]-re vonatkozó tükörképe [i]A''B''C''[/i]. Milyen egybevágósági transzformáció  az [i]ABC[/i]Δ → [i]A''B''C''[/i]Δ hozzárendelés? [br][br]Ezt a hozzárendelést a két tengelyes tükrözés[i] szorzatának[/i] nevezzük. [br][/*][/list]