Αρσάκεια Σχολεία - Μαθηματικά Β΄ Γυμνασίου
Εφαρμογές και ψηφιακά δομήματα για τη διδασκαλία των Μαθηματικών στη Β΄ Γυμνασίου.
Table of Contents
- Συναρτήσεις
- Συντεταγμένες σημείου
- Ερευνητική διδασκαλία στην έννοια της συνάρτησης
- Η έννοια της συνάρτησης
- Γραφική παράσταση συνάρτησης
- Η συνάρτηση y = αx
- Η συνάρτηση y = αx + β
- Τριγωνομετρία
- Ορισμός εφαπτομένης οξείας γωνίας
- Δυναμική παρουσίαση της κλίσης ευθείας
- 1η Δραστηριότητα
- 2η δραστηριότητα
- Κατασκευή γωνίας ω με δεδομένη εφω
- ημίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας
- Εμβαδά επίπεδων σχημάτων
- Εμβαδόν παραλληλογράμμου
- Εμβαδόν τριγώνου
- Eμβαδόν τραπεζίου
- Πυθαγόρειο Θεώρημα
- Πυθαγόρειο Θεώρημα - Εισαγωγή
- Γραφικές αναπαραστάσεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος
- Μέτρηση Κύκλου
- εγγε-γραμμένες γωνίες
- μήκος κύκλου
- εμβαδόν κυκλικού δίσκου
Συντεταγμένες σημείου
Σ0. Εισαγωγή στις συντεταγμένες
Συμμετέχεις με την ομάδα σου σ’ ένα διαγωνισμό ρομποτικής.[br]Στόχος σας είναι να οδηγήσετε το ρομποτάκι σας στη ζητούμενη θέση δίνοντάς του τις κατάλληλες εντολές.[br][b][u][color=#0000ff]Στη δραστηριότητα 1[/color][/u][/b] το ρομποτάκι αναγνωρίζει μόνο φυσικούς αριθμούς και [br]τις εντολές δεξιά – αριστερά και πάνω - κάτω.[br][b][u][color=#0000ff]Στη δραστηριότητα 2[/color][/u][/b] το ρομποτάκι αναγνωρίζει ακέραιους αριθμούς και τις εντολές [br]οριζόντια – κατακόρυφα.[br][br][i]Αφού συμπληρώσεις στα αντίστοιχα πλαίσια τους αριθμούς που θέλεις, [br]κάνε κλικ στα αντίστοιχα κουμπιά για να κινηθεί το ρομποτάκι.[/i][br][b]Με το κουμπί «Ξανά» μπορείς να επαναλάβεις την προσπάθειά σου[br]και με το κουμπί «Νέο σημείο» μπορείς να ξεκινήσεις μία νέα προσπάθεια.[/b]
Συμπέρασμα
Όπως φάνηκε, μπορούμε να προσδιορίσουμε την ακριβή θέση ενός σημείου στο επίπεδο [br]με τη βοήθεια ενός ζεύγους αριθμών οι οποίοι δείχνουν την οριζόντια και την κατακόρυφη [br]απόσταση του σημείου από μία αρχική θέση Ο.
Σ1. Ορισμός
Κάνε κλικ στο κουτί "Έναρξη" για να αρχίσει η εφαρμογή.[br]Μπορείς να "παγώσεις" την εφαρμογή σε όποιο σημείο θέλεις αποεπιλέγοντας το κουτί "Έναρξη".
Σ2. Εύρεση συντεταγμένων δοσμένου σημείου
Συμπλήρωσε στα πεδία δεξιά τις συντεταγμένες του αντίστοιχου σημείου που φαίνεται [br]στο επίπεδο αριστερά.[br]Όταν βάλεις τις συντεταγμένες που θέλεις πάτησε "enter".[br]Όταν οι συντεταγμένες που βάζεις είναι σωστές τότε το σημείο γίνεται πράσινο, αλλιώς γίνεται κόκκινο.[br]Με κλικ στο κουμπί "Αρχική θέση" ξεκινάς από την αρχή.
Σ3. Εύρεση σημείου από συντεταγμένες
Σύρε με το ποντίκι σου τα μπλε σημεία στη θέση που δείχνουν οι συντεταγμένες του.[br]Επίλεξε τα κουτιά στο δεξί παράθυρο της εφαρμογής για να αρχίσεις τα αντίστοιχα ερωτήματα.[br]Όταν τοποθετείς τα σημεία εκεί που θέλεις επίλεξε το κουτί "Έλεγχος απάντησης" για να ελέγξεις[br]αν η απάντησή σου είναι σωστή.
Σ4. Εξάσκηση και πειραματισμός
Συμπέρασμα 1
Με βάση τις παρατηρήσεις σου, κάποια σημεία ανήκουν σε ευθεία παράλληλη στον άξονα x΄x [br]όταν έχουν ίσες
Συμπέρασμα 2
Με βάση τις παρατηρήσεις σου, κάποια σημεία ανήκουν σε ευθεία παράλληλη στον άξονα y΄y [br]όταν έχουν ίσες
Συμπέρασμα 3
Ένα σημείο ανήκει στον άξονα x΄x όταν έχει
Συμπέρασμα 4
Ένα σημείο ανήκει στον άξονα y΄y όταν έχει
Σ5. Παιχνίδι - εύρεση συντεταγμένων σημείου
Χειρίζεσαι το ραντάρ στο διαστημόπλοιο Enterprise. [br]Κάνε κλικ στο κουτί "Λειτουργία ραντάρ" για να αρχίσει η αποστολή σου.[br]Συμπλήρωσε στο πεδίο "Θέση Αντικειμένου" τις συντεταγμένες του σημείου που δείχνει το ραντάρ σου[br]και κάνε κλικ στο κουτί "Αποστολή σήματος".[br]Αποεπίλεξε το κουτί "Αποστολή σήματος" και κάνε κλικ στο κουμπί "Νέα αποστολή" για ένα νέο σημείο.[br][b][i][color=#ff0000]Προσοχή! Τους δεκαδικούς αριθμούς θα τους γράφεις με τελεία και όχι με κόμμα, [br] δηλαδή 2.5 και όχι 2,5. [/color][/i][/b]
Σ6. Παίζουμε Ναυμαχία
Εξάσκηση στην εύρεση σημείου από γνωστές συντεταγμένες καθώς και στην εύρεση συντεταγμένων ενός γνωστού σημείου.[br]Κάθε φορά που "βυθίζεις" ένα πλοίο αποεπίλεξε το κουτί "Έλεγχος" και κάνε κλικ στο κουμπί [br]"Δώσε θέση" για το επόμενο πλοίο.[br][b][i][color=#ff0000]Το παιχνίδι τελειώνει στις δύο αποτυχημένες προσπάθειες ή όταν βυθίσεις τρία πλοία του αντιπάλου.[/color][/i][/b]
Ορισμός εφαπτομένης οξείας γωνίας
[b][color=#1155cc][size=150]Οδηγίες[br][/size][/color][/b]Στο ψηφιακό δόμημα περιέχονται:[br][list][*]ο δρομέας "Κλίση" από όπου μεταβάλλεται η κλίση της ευθείας ΟΑ[/*][*]ένας πίνακας στον οποίο εμφανίζονται τα μήκη των τμημάτων ΑΒ και ΟΒ και ο λόγος [math]\frac{ΑΒ}{ΟΒ}[/math][/*][/list]
Τ1. Εισαγωγή
[b][size=150][color=#1155cc]Πειραματισμός - Διαπιστώσεις[/color][/size][/b][br][br]Μετακινήστε το σημείο Α και παρατηρήστε τις τιμές του λόγου [math]\frac{AB}{OB}[/math].[br][br][list=1][*]Ποιο είναι το συμπέρασμα που προκύπτει από τον πειραματισμό;[/*][*]Μπορείτε να δώσετε μια ερμηνεία για το συμπέρασμα σας;[/*][*]Προσπαθήστε να αλλάξετε τώρα την τιμή του λόγου [math]\frac{ΑΒ}{ΟΒ}[/math]. Ποιο είναι το μέγεθος που καθορίζει την τιμή αυτού του λόγου;[/*][/list]
Ορισμός
Τ2. Δυναμική παρουσίαση του ορισμού
[b][color=#1155cc]Για εμπέδωση[br][br][/color][/b](μπορείτε να παίρνετε ανατροφοδότηση σε κάθε στάδιο από το 1ο δόμημα).
1η Ερώτηση
Αν είναι OB=4 και ΑΒ=1 τί κλίση % θα έχει η ευθεία ΟΑ;
2η Ερώτηση
Αν είναι ΟB=10 και [math]ΑΒ=\frac{3}{2}[/math], τότε η ευθεία ΟΑ έχει κλίση 15%.
3η Ερώτηση
Αν η ημιευθεία ΟΑ έχει κλίση 20% και ΑΒ=4, τότε ΟΒ = :
4η Ερώτηση
Η κλίση της ημιευθείας ΟΑ δεν θα ορίζεται όταν:
Εμβαδόν παραλληλογράμμου
[b][color=#3c78d8]Οδηγίες[/color][/b][br][br]Το παρακάτω δόμημα περιέχει 2 δραστηριότητες που επιλέγονται από τους διακόπτες στη δεξιά πλευρά.[br][br][b][color=#3c78d8]1η δραστηριότητα[/color][/b][br][br]Σε αυτή τη δραστηριότητα, πρέπει να βρείτε μία κατάλληλη θέση του τριγώνου ΑΔΕ΄ ώστε το σχήμα που θα προκύψει να έχει γνωστό εμβαδόν. [br]Από αυτόν το μετασχηματισμό, θα οδηγηθείτε να διατυπώσετε τον τύπο του εμβαδού ενός τυχαίου παραλληλογράμμου. [br][br][b][color=#3c78d8]2η δραστηριότητα[br][br][/color][/b]Στη 2η δραστηριότητα, πρέπει να ανακαλύψετε τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλεται το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου τόσο σε σχέση με μία από τις πλευρές του, όσο και σε σχέση με ένα ύψος του. Συγκεκριμένα:[br][br][b] 1η μεταβολή:[br][/b][br] Αλλάξτε το μήκος της πλευράς ΒΖ σύροντας την κορυφή Β ή την κορυφή Ζ. Εμφανίζονται τότε τα ίχνη ενός σημείου R σε ένα ορθοκανονικό σύστημα. [br] Από τη μορφή των ιχνών, μπορείτε να καταλάβετε τί είδους σχέση συνδέει τις τιμές του εμβαδού Ε του παραλληλογράμμου με την πλευρά του ΒΖ;[br][br] [b]2η μεταβολή:[br][/b][br] Αλλάξτε το μήκος του ύψους σύροντας την κορυφή Β ή την κορυφή Ζ. Εμφανίζονται τότε τα ίχνη ενός σημείου S σε ένα ορθοκανονικό σύστημα. [br] Από τη μορφή των ιχνών, μπορείτε να καταλάβετε τί είδους σχέση συνδέει τις τιμές του εμβαδού Ε του παραλληλογράμμου με τις αντίστοιχες τιμές του ύψους ;[br][br]
Ε1
[size=85]Ψηφιακό Σχολείο - Μ. Τσιλπιρίδης[/size]
[b][color=#3c78d8]Οδηγίες[/color][/b][br][br]Στο δόμημα δημιουργείται ένας διαφορετικός μετασχηματισμός από το δόμημα Ε1. [br]Με το συγκεκριμένο δόμημα μπορείτε να επαληθεύσετε τις εικασίες που κάνατε στο δόμημα Ε1, σχετικά με τον τρόπο υπολογισμού του εμβαδού ενός τυχαίου παραλληλογράμμου.
E.1.1
Πυθαγόρειο Θεώρημα - Εισαγωγή
[b][color=#1155cc][size=150]Οδηγίες[/size][/color][/b][br][br]Στο ψηφιακό δόμημα περιέχεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές α,β,γ οι οποίες μεταβάλλονται με σύρσιμο των κορυφών του τριγώνου.[br]Επίσης καταγράφονται οι μετρήσεις των πλευρών α,β,γ καθώς και των τετραγώνων τους.[br]Όταν η γωνία ω είναι 90[sup]0[/sup], εμφανίζονται τα κουμπιά Βήμα 1 έως Βήμα 6 που δημιουργούν κάποιους μετασχηματισμούς.[br][br][size=150][b][color=#1155cc]Πειραματισμός[/color][/b][/size][br][br][list][*]Πατήστε τα κουμπιά Βήμα 1 έως και Βήμα 6. [/*][*]Γράψτε τη σχέση που προκύπτει από τη σύγκριση των εμβαδών των τετραγώνων που δημιουργούνται. [br][/*][*]Διατυπώστε την τελική σχέση που προκύπτει με αλγεβρικό και γεωμετρικό τρόπο.[br][/*][/list]
Π1. Πυθαγόρειο Θεώρημα - Διατύπωση - Απόδειξη
[size=150][b][color=#1155cc]Οδηγίες[/color][/b][/size][br][br]Στο δόμημα περιέχονται:[br][list][*]ένας δρομέας από τον οποίο μεταβάλλεται η γωνία Α, του τριγώνου ΑΒΓ[/*][*]μετρήσεις των εμβαδών των τετραγώνων τ[sub]1[/sub]+τ[sub]2[/sub] και τ[sub]3[/sub].[/*][*]η εκφώνηση του προβλήματος[br][/*][/list][br][size=150][b][color=#1155cc]Πειραματισμός[/color][/b][/size][br]Πειραματιστείτε για διάφορες τιμές της γωνίας Α του τριγώνου και εξετάστε τα ερωτήματα που ακολουθούν μετά τη δραστηριότητα:[br][br][br][br]
Π2. Δραστηριότητα
1.
Πότε ο Αντώνης είναι ευνοημένος σε σχέση με τον Θάνο;
2.
Πότε είναι ευνοημένος ο Θάνος σε σχέση με τον Αντώνη;
3.
Σε ποια περίπτωση θα πάρουν την ίδια συνολικά έκταση ο Αντώνης και ο Θάνος;
4.
Από τον προηγούμενο πειραματισμό, ποιο συμπέρασμα προκύπτει για το είδος ενός τριγώνου με πλευρές α,β,γ όταν ισχύει η σχέση:[br][br][math]α^2=β^2+γ^2[/math]
εγγε-γραμμένες γωνίες
[b][size=150][color=#1155cc]Κ1. Αρχαίο Ελληνικό Θέατρο[br][/color][/size][/b][br][list][*]από το σημείο "Θεατής"μπορείτε να αλλάζετε τη θέση του Θεατή στο ίδιο διάζωμα[/*][*]από το σημείο "άλλαξε διάζωμα" αλλάζετε το διάζωμα. [/*][*]για κάθε θέση του Θεατή, φαίνεται η μέτρηση της γωνίας με την οποία βλέπει τη σκηνή ΑΒ. [/*][/list]
[i][size=85]Ψηφιακό Σχολείο: Κ. Γαβρίλης, Γ. Ψυχάρης | τροποποίηση - προσαρμογή: [b]e-arsakeio[center][/center][center][/center][/b][/size][/i]
[b][color=#1155cc][size=150]Πειραματισμός[/size][/color][/b][br][br][b]1ο Στάδιο[/b][br]Στο αρχαίο Ελληνικό θέατρο, οι θεατές που κάθονταν στο ίδιο διάζωμα, έβλεπαν τη σκηνή με την ίδια γωνία. Είναι αλήθεια αυτό;[br][br][b]2ο Στάδιο[/b][br]Ανοίξτε το διακόπτη "Πρόβλημα"[br]Στην οθόνη βλέπετε τα σημεία Γ,Δ,Ε και Ζ, στα οποία έχουν στερεωθεί προβολείς που φωτίζουν τη σκηνή ΑΒ. Οι τεχνικοί του θεάτρου πρέπει να τους αλλάξουν θέση, έτσι ώστε να φωτίζουν και οι 4 προβολείς τη σκηνή με γωνία 20[sup]0[/sup]. Πώς πρέπει να τους τοποθετήσουν για να το καταφέρουν αυτό;[br] [br][list][*]Μετακινήστε τους 4 προβολείς ώστε να βλέπουν τη σκηνή με γωνία 20[sup]0[/sup]. [/*][*]Χρησιμοποιήστε το εργαλείο που υπάρχει στο λογισμικό. Τί παρατηρείτε;[/*][*]Επαναλάβατε τον πειραματισμό για γωνία 30[sup]0[/sup]. [/*][*]Από τη διαπίστωσή σας, μπορείτε να βοηθήσετε τους τεχνικούς για τον τρόπο που πρέπει να ακολουθήσουν;[/*][/list][br][br][b][color=#1155cc][size=150]Διαπιστώσεις[/size][/color][/b][br][br]Γράψτε στο τετράδιο τις παρατηρήσεις σας για τα ερωτήματα:[br][br]Α. Τί προέκυψε από τον προηγούμενο πειραματισμό, σχετικά με γωνίες όπως αυτές που φαίνονται στο σχήμα 1;[br][br]Β. Περιγράψτε τον τρόπο με τον οποίο σχηματίζονται τέτοιες γωνίες.[br][br]Γ. Πόσες ακόμη γωνίες υπάρχουν στο συγκεκριμένο κύκλο, όπως αυτές που φαίνονται στο σχήμα 1;[br][br]
[justify]σχήμα 1[/justify][center][/center]
Ορισμός
[center][/center]
[left]σχήμα 2[/left]
[size=150][b][color=#1155cc]Κ.2.1 Σχέση εγγεγραμμένης και επίκεντρης γωνίας στο ίδιο τόξο[br][/color][/b][/size][br]Οδηγίες[br]Στο δόμημα περιέχονται:[br][list][*]ένας κύκλος ακτίνας R και το σημείο Α στην περιφέρεια του. Το σημείο Α κλειδώνει όταν πατηθεί ο αντίστοιχος διακόπτης. [/*][*]δύο λευκά σημεία στην περιφέρεια του κύκλου, τα οποία μεταβάλλουν το μαύρο τόξο. [/*][*]η εγγεγραμμένη γωνία Α και η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία στο ίδιο τόξο.[/*][/list]
[b][color=#1155cc][size=150]Πειραματισμός - Διαπιστώσεις[/size][/color][/b][br][br]Κλειδώστε το σημείο Α σε κάποια θέση της περιφέρειεας του κύκλου.[br][list][*]Ακολουθήστε τις οδηγίες "σύρε με "στρέψε με" που εμφανίζονται σε κάθε στάδιο.[/*][*]Ποιο συμπέρασμα προκύπτει από τον πειραματισμό;[/*][*]Επαναλάβατε τον πειραματισμό και για άλλη θέση του σημείου Α και διαφορετική ακτίνα R.[/*][*]Γράψτε στο τετράδιο, τη σχέση που φαίνεται να υπάρχει ανάμεσα σε μία επίκεντρη γωνία και οποιαδήποτε εγγεγραμμένη στο ίδιο τόξο. [/*][/list]
[size=150][b][color=#1155cc]K.2.2 Υπολογισμός και σχεδίαση εγγεγραμμένης γωνίας[br][/color][/b][/size][br]Στο δόμημα περιέχονται:[br][list][*]Ένας κύκλος κέντρου Ο, μία επίκεντρη γωνία στο τόξο ΑΒ και μία εγγεγραμμένη γωνία με κορυφή το Ε.[br][/*][*]Από το κουμπί "Ανανέωση" παράγονται νέες επίκεντρες γωνίες.[br][/*][*]Από το δρομέα "Επίκεντρη γωνία" μεταβάλλεται χειροκίνητα η επίκεντρη γωνία. [br][/*][*]Στο κενό κουτί θα συμπληρώνετε το μέτρο της εγγεγραμμένης γωνίας.[br][/*][/list][br]Αφού συμπληρώσετε σωστά το κενό κουτί, στη συνέχεια πρέπει να τοποθετήσετε κατάλληλα την κορυφή Ε και τις πλευρές ΕΗ και ΕΖ , ώστε η γωνία Ε να είναι εγγεγραμμένη στο τόξο ΑΒ.
[size=150][color=#1155cc][b]Ερωτήματα[/b][/color][/size]
1η. Πότε μία εγγεγραμμένη γωνία στο τόξο ΑΒ είναι [b]οξεία[/b];[br]Όταν η επίκεντρη γωνία στο τόξο ΑΒ είναι:
2η. Το μέτρο μιας εγγεγραμμένης γωνίας σε ένα τόξο ΑΒ είναι:
3η. Το μέτρο μίας εγγεγραμμένης γωνίας σε ένα τόξο ΑΒ ενός κύκλου, παίρνει τιμές:
4η. Πότε μία εγγεγραμμένη γωνία στο τόξο ΑΒ είναι [b]αμβλεία[/b];[br]Όταν η επίκεντρη γωνία στο τόξο ΑΒ είναι:
5η. Πότε μία εγγεγραμμένη γωνία στο τόξο ΑΒ είναι [b]ορθή[/b];[br]Όταν η επίκεντρη γωνία στο τόξο ΑΒ είναι: