Bizonyára feltűnt olvasóinknak, hogy a P-modell saját eljárásait két csoportba soroltuk. Eddig csak az első csoporttal foglalkoztunk, amelybe tartozó eljárások lényegében megfelelnek a – tágabb értelemben vett – euklideszi szerkesztéseknek.[br][br]Most a mérésekkel kapcsolatos saját eljárásokkal ismerkedünk meg, amelyek mindegyike igényel némi magyarázatot. Mi több, itt már érinteni fogunk néhány olyan fogalmat, amely inkább a felsőbb matematikához tartozik. Az e téren kevésbé jártas olvasóink megnyugodhatnak: az alkalmazás szintjén itt is elegendők lesznek a középiskolai matematikai ismeretek.[br][br]A geometria axiomatikus felépítése során a méréssel kapcsolatos vizsgálataink közben már támaszkodnunk kell egy másik axiómarendszerben kialakított fogalomrendszerre, a [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Valós_számok]valós számok[/url] fogalmára és az ezekkel kapcsolatos számtani (algebrai) műveletekre.[br][br]Minden méréssel kapcsolatos fogalomnak, így a távolság- és szögmérésnek is teljesíteni kell az alábbi feltételeket: [br][list][*]az egybevágó alakzatokhoz ugyanazt a mérőszámot kell rendelnünk;[br][/*][*]ha egy szakaszt, szöget, vagy bármilyen mérhető objektumot részekre osztunk, akkor a részekhez rendelt mérőszámok [u]algebrai értelemben vett[/u] összegének meg kell egyeznie az eredeti objektum mérőszámával;[br][/*][*][u]választanunk[/u] kell egy egységnyinek tekintett mennyiséget.[/*][/list]

Könnyebb dolgunk a szögek mérésével van. Ugyanis az inverzió – a P-modellen a [b]HTükrözés[][/b] – szögtartó tulajdonságából adódóan a szögek euklideszi értelemben vett mértéke megegyezik a P-modellen mért szög mértékével. Így ha kijelölünk egy szöget, ezzel megadjuk a mértékét is. (Két kör, vagy körív szögét a metszéspontjukba húzott érintők szögével mérjük.) Mivel megállapodtak őseink abban, hogy a teljes szöget 360 részre osztják, itt is fokokban kapjuk a szög mérőszámát. Erről a GeoGebra gondoskodik. Arról is, hogy ha ki tudunk jelölni egy szöget, azzal már leolvashatjuk, megjeleníthetjük a – fokokban (vagy ha akarjuk ívmértékben) kapott – mértékét is.[br][br]Kimondhatjuk, azt az abszolút geometriai összefüggést, hogy: [b][color=#9900ff]a szögmérés abszolút.[/color] [/b](Az elliptikus geometriában is az.)[br][br]A mi P-modellünkön használt [b]HSzög[] [/b]eljárás háromszög szögeinek, vagy közös kezdőpontú félegyenesek [u]konvex[/u] szögeinek a mérésére alkalmas.

Az eljárásban piros színnel jeleztük az itt [b][color=#ff0000][i]g[/i]([i]x[/i])[/color][/b]-szel jelölt függvényt, amelynek az a feladata, hogy megadja annak a ([i]g[/i]([i]t[/i]),0) H_Pontnak a (0,0) ponttól mért [u]euklideszi[/u] távolságát, amelynek a (0,0) ponttól mért H-mértéke [i]t[/i].  [br][br]Ha pl. [i]t[/i]=1,akkor a ([i]g[/i]([i]t[/i]),0) pont egybeesik [i]E[/i]-vel. Az [i]E[/i]-vel jelölt H_ponttal adtuk meg az egységnyi H-mértékű [i]e=[/i]((0,0),[i]E[/i]) szakaszt. Itt [i]e [/i]természetesen a GeoGebra rajzlapján mért euklideszi értelemben vett szakasz ill. távolság.[br][br][i]A [/i][color=#ff0000][b][i]g[/i]([i]x[/i])[/b][/color] függvény inverze a kék színű, itt [i][color=#0000ff][b]h(x)[/b][/color] [/i]nevű függvény, amely megadja a hiperbolikus mértékét a [i]d[/i]=(0,0),[i]P[/i]) szakasznak. Ha [i]P=E[/i], akkor az [i]e[/i] szakasz hiperbolikus mértéke 1.[br][br]Bízunk benne hogy az eljárásainkat bemutató demonstrációs fájl bemenő adatait (az [i]E[/i] pontot, a[i] t [/i]csúszkát ill. a [i]P[/i] pontot) kicsit megmozgatva olvasóink számára világos lesz a két függvény működése.[br][br]Az eljárás bemenő adata egyetlen H_Pont, amely nem egyezhet meg a P-modell alapkörének a középpontjával, és nem illeszkedhet az alapkör vonalára. Előállíthatjuk úgy is, mint a többi H-Pontot, de célszerűbb a parancssorban előállítanunk pl. ezzel a paranccsal: [b]E=Pont[Szakasz[(0.02,0),(8,0)]][/b].[br]Így a feltételeinknek bőven eleget tevő pontot állítunk elő, amelyet majd használhatunk a következő [b]HTávolság[] [/b]eljárásban is. Lényegében ennek a pontnak a (0,0) ponttól mért – euklideszi értelemben vett – távolságát választjuk a P-modell távolságegységének, amely ilyen megadás mellett egy 0.2≤[i]d[/i]≤8 szám lesz. Az így megválasztott egység – mint később látni fogjuk – alapvető fontosságú a távolságok megadását, vagy kiszámítását igénylő feladatokban. [br][br]Megtehetnénk az is -mint [url=https://www.geogebra.org/m/Hf3wzUKD#material/upseTGND]itt [/url]később meg is fogjuk tenni -, hogy a [i]d [/i]távolság megadását függetlenítsük a P-modell alapkörétől, sőt a GeoGebra rajzlapjának a zoomolásától is.

Anélkül, hogy elmerülnénk a részletekben, megjegyezzük, hogy a [math]g\left(x\right)=10\ \text{th}\left(x\frac{p}{2}\right)[/math] és a [math]h\left(x\right)=\frac{2}{p}\text{arth}\left(\frac{x}{10}\right)[/math] ún. [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Hiperbolikus_f%C3%BCggv%C3%A9nyek]hiperbolikus függvények[/url], ahol [b]d=Távolság[(0,0),E] [/b]számból a [math]p=\ln\left(\frac{10+d}{10-d}\right)[/math] képlettel kapjuk meg azt a konstanst, amely a [color=#ff0000][b]g(x) [/b][/color]és[b][color=#0000ff] h(x) [/color][/b]függvényekben szerepel. [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Hiperbolikus_f%C3%BCggv%C3%A9nyek]Ez a két függvény egymás inverze[/url]. Ez a geometriai tartalmukon is tükröződik. A p konstanssal mutatott kapcsolatuk talán világosabban látszik, ha ezeket a függvényeket [math]g\left(x\right)=10\left(\frac{e^{2p}+1}{e^{2p}-1}\right)[/math] és [math]h\left(x\right)=\frac{1}{p}\ln\left(\frac{10+x}{10-x}\right)[/math]   alakba írjuk át, ahol az [i]e[/i] konstans a természetes alapú logaritmus alapszáma. Amennyiben a P-modell alapkörének a sugara nem 10 egységnyi lenne – mint jelen esetben –, hanem tetszőleges [i]r[/i] érték, akkor fenti képletekbe 10 helyett mindenhova[i] r[/i]-t kellene írnunk.[br][br]Megtehetnénk, hogy megállapodunk egy konstans egységnyi szakasz használatában amely minden P-modellre érvényes. Ebben az esetben viszont elveszítenénk azt a szabadságot, hogy magunk választhatunk egységnyi szakaszt. Hamarosan[url=https://www.geogebra.org/m/Hf3wzUKD#material/wjYBKpFG] látni fogjuk[/url], hogy melyek azok az összefüggések, amelyek függetlenek a távolságegység megválasztásától. (Mint pl. az euklideszi geometriában Pithagorasz tétele, vagy a szinusz tétel.)[br][br]Olvasóinknak ezeknek a képletek egyik alakját sem kell megjegyezniük, elegendő azt tudni, hogy mi a geometriai tartalmuk.[br][br]Az eljárás alkalmazásánál előfordulhat, hogy nem [color=#ff0000] [b]g[/b][/color] ill[b]. [color=#0000ff]h [/color][/b]lesz az így előállított két függvény neve, ezért különböztettük meg őket színekkel.

A szögméréssel szemben[color=#0000ff] [b]az euklideszi geometriában a távolságmérés relatív[/b][/color][b].[/b] Bár sok matematikai feladat kezdődik úgy, hogy „legyen adott egy egységnyi szakasz”, ezen mindenki más-más méretű szakaszt érthet. Lényeg, hogy az adott feladaton belül ne változzon a távolságegység. Ha azonban azt szeretnénk, hogy mindenki munkájában ugyanakkora (egybevágó) legyen az egység, külső – fizikai – mértékegységben kell megállapodnunk. [br][br]Mondhatnánk, hogy ha egy távoli civilizációval (E.T.-vel) rádión tudnánk matematikáról beszélni, el tudnánk magyarázni a matematika eszközeivel, hogy mekkora az 1 °-os szög, de hogy mekkora 1 méter, azt nem. Viszont [color=#ff0000][b]a hiperbolikus geometriában a távolságmérés is abszolút[/b][/color]. Például miután egy számmal meg tudjuk adni, hogy a P-modell egy pontja és az alapkör középpontja közötti szakasz hányadrésze az alapkör sugarának, lényegében egy számmal jellemezhetjük az egységnyinek tekintett szakaszt. Ezt fogjuk tenni. Annak a kérdésnek, hogy mekkora legyen a P-modell alapköre, önmagában nincs értelme. Mi a GeoGebra rajzlapján alkalmazott mértékegységhez képest vettük fel 10 egységnyinek. [br][br]A [b]HTávolságegység[] [/b]eljárás feladata azoknak a függvényeknek az előállítása, amelyek kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesítenek a P-modell alapkörének az átmérője – jelen esetben a (-10;10) nyitott intervallum – és az ezzel megjelenített H-számegyenes pontjai között. Anélkül, hogy itt részleteznénk ennek a hozzárendelésnek a matematikai hátterét, megjegyezzük, hogy az itt előállított két függvény – amelyek egymás inverzei – a P-modell középpontja és egy H-pont euklideszi és hiperbolikus távolsága közötti kapcsolatot írja le.

Minden olyan esetben, ha valamit meg szeretnénk mérni, először meg kell állapodnunk abban, hogy milyen mértékegységet fogunk alkalmazni. Mint ahogy az euklideszi geometriában egy szakasz mérőszámával együtt megadjuk az alkalmazott mértékegységet, a P-modellen is három bemenő adatot kell megadnunk egy szakasz hosszának (mérőszámának) a megadásához.[br][br]Pl. az [i]A[/i] és [i]B[/i] pontok távolságát a [b]Távolság[E,A,B][/b] paranccsal kapjuk meg, ahol lényegében az [i]E[/i] pont adja meg a H_távolságegységet. Fontos, hogy egy fájlon belül ugyanazt az E pontot kell  használnunk[br]minden távolság meghatározására.[br][br] Könnyen ellenőrizhetjük, hogy a választott mértékegységtől függetlenül[br][list][*]bármely két szakasz hosszának az aránya állandó.[br][/*][*]egybevágó szakaszok hossza egyenlő;[br][/*][*]ha egy szakaszt egy belső pontjával két szakaszra bontunk, akkor e két rész-szakasz mérőszámának az összege megegyezik az eredeti szakasz hosszával.[br][/*][/list][br]Annak a szemléltetése, hogy bármely szakasznál van nagyobb, technikailag nehezebben mutatható be, bár a [color=#ff0000][b]g(x)[/b][/color] és[b] [color=#0000ff]h(x)[/color][/b] függvények tulajdonságaiból egyértelműen következik.

Az itt tárgyalt [b]HEgyenesekKapcsolata[] [/b]névvel hívható saját eljárást elhelyezhettük volna az abszolút geometriai alapszerkesztések csoportjába is, mivel az abszolút geometriai eszköztár eljárásaival is előállíthatók azok az objektumok, amelyeket ezzel állítunk elő. Mégis inkább ebben a csoportban helyeztük el, mivel az ezzel az eszközzel előállított objektumok jórészt csak a hiperbolikus geometria fogalomkörében értelmezettek.[br][br][url=https://www.geogebra.org/m/Hf3wzUKD#material/hVwFnUZW]Korábban láttuk,[/url] hogy két H-egyenes lehet metsző, aszimptotikusan párhuzamos, vagy ultrapárhuzamos.[br]Ez az eljárás előállítja a két egyenes metszéspontját, ha azok metszők, közös végtelen távoli pontját, ha aszimptotikusan párhuzamosak, és – ami a legfontosabb – ultrapárhuzamos egyenesek esetén azt az egyenest (a végtelen távoli pontjaival együtt), amely mindkettőt merőlegesen metszi. [br][br]Ugyanis [b][color=#ff0000]a hiperbolikus geometriában[/color] [/b][b][color=#ff0000]két ultrapárhuzamos egyeneshez egy és csak egy olyan egyes tartozik, amely mindkettőt merőlegesen metszi. [/color][br][br][/b][color=#333333]Addig, amíg [br][/color][list][*][b][color=#0000ff]az euklideszi geometriában két párhuzamos egyenes távolsága a két egyenesre bárhol állított merőlegesnek a két egyenes közé eső szakaszával mérhető[/color][/b][color=#333333],[/color] [br][br][/*][*][b][color=#ff0000]a hiperbolikus geometriában két ultrapárhuzamos egyenes távolságát a közös normálisuknak a két egyenes közé eső szakaszával mérjük. [/color][/b][br][/*][/list]Vagyis csak egyetlen helyen.[br][br]Az eljárás bemenő adata nem csak két egyenes, hanem félegyenes és szakasz is lehet, ha szakasz, vagy félegyenes a bemenő adat, akkor a végeredmény ezek tartóegyeneseire vonatkozik. Az eljárás végeredménye (outputja) a kapott geometriai objektum mellett még egy szöveg is, amely a két bemenő alakzat (egyenes) kölcsönös helyzetét írja le.[br][br]Ha két – találomra felvett – általános helyzetű egyenes az eljárás bemenő adata, akkor a kölcsönös helyzetük várhatóan [i]metsző[/i], vagy [i]ultrapárhuzamos[/i]. Ahhoz, hogy megkapjuk az igen speciális aszimptotikusan párhuzamos (egyirányú) esetet, ez az eljárás igen „elnéző”. Akik [url=https://www.geogebra.org/m/EM8q39y4]letöltik az eljárás forrásprogramját[/url], hamar rábukkanhatnak, hogy mennyire az.[br][br]Ha éppen ezzel az eljárással szeretnénk megmutatni, hogy két egyenes egyirányú, akkor a GeoGebrától elvárható legszigorúbb feltételt kell kiszabnunk. Nevezetesen azt, hogy ekkor a vizsgált H-egyenesnek megfelelő köríveknek a P-modell alapkörével alkotott metszéspontjai nagyon közel vannak egymáshoz, vagy pontosan egybeesnek. A közös végtelen távoli pontot a[size=150][b] ◊[/b][/size] jel[size=100] [b][color=#ff00ff][size=150]◊[/size][/color][/b][/size] vagy[b][size=100][color=#6aa84f] [size=150]◊[/size][/color][/size][/b] színével, valamint a két egyenes kapcsolatát leíró [b][color=#ff00ff]közel egyirányú[/color][/b], vagy [color=#6aa84f] [b]PONTOSAN egyirányú[/b][/color] szöveggel jelzi az eljárás.