Tout d'abord, notons que si [math]F\in[DE][/math], l'aire du triangle [math]BFC[/math] ne dépend pas de la position du point [math]F[/math] sur le segment [math][DE][/math].

Les triangles [math]DBC[/math] et [math]BCE[/math] ont donc des aires égales :[br][br][math]Aire\left(DBC\right)=Aire\left(BEC\right)[/math][br][br]Si nous considérons les triangles [math]AEB[/math] et [math]ADC[/math], nous avons :[br][br][math]Aire\left(AEB\right)=Aire\left(ABC\right)-Aire\left(BEC\right)[/math] et [math]Aire\left(ADC\right)=Aire\left(ABC\right)-Aire\left(DBC\right)[/math][br][br]Donc :[br][math]Aire\left(AEB\right)=Aire\left(ADC\right)[/math]

Si nous appelons [math]H[/math] le pied de la perpendiculaire à [math](AB)[/math] menée au point [math]E[/math], nous avons :[br][br][math]Aire\left(ADE\right)=\dfrac{AD\times HE}{2}[/math] et [math]Aire\left(AEB\right)=\dfrac{AB\times HE}{2}[/math][br][br]Si nous appelons [math]G[/math] le pied de la perpendiculaire à [math](AC)[/math] menée au point [math]D[/math], nous avons :[br][br][math]Aire\left(ADE\right)=\dfrac{AE\times GD}{2}[/math] et [math]Aire\left(ADC\right)=\dfrac{AC\times GD}{2}[/math][br]

Or nous avons vu que [math]Aire\left(AEB\right)=Aire\left(ADC\right)[/math], nous avons donc :[br][br][math]\dfrac{AD\times HE}{2}=\dfrac{AE\times GD}{2}[/math] et [math]\dfrac{AB\times HE}{2}=\dfrac{AC\times GD}{2}[/math][br][br]Soit : [math]AD\times HE=AE\times GD[/math] et [math]AB\times HE=AC\times GD[/math][br][br]Ce qui équivaut à : [math]\dfrac{HE}{GD}=\dfrac{AE}{AD}[/math] et [math]\dfrac{HE}{GD}=\dfrac{AC}{AB}[/math][br][br]Nous avons donc : [math]\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AC}{AB}[/math][br][br]Ce qui équivaut à :[math]\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}[/math][br][br][color=#cc0000]L'égalité des rapports des longueurs des côtés adjacents est démontrée.[/color]