[br][b]Allgemeine Form:[/b] [math]f\left(x\right)=a\cdot x^2+b\cdot x+c[/math][br][br][b]Normalform:[/b]  [math]f\left(x\right)=x^2+p\cdot x+q=0[/math];  es gilt: [math]p=\frac{b}{a}[/math] und [math]q=\frac{c}{a}[/math][br][br][b]Scheitelpunktform:[/b] [math]f\left(x\right)=a\cdot\left(x-x_s\right)^2+y_s[/math]

[b][br]Allgemeine Form -> Normalform:[/b]    [i][color=#000000]f(x) nullsetzen, durch a dividieren[/color][/i][br][color=#ff0000][b][i][br][/i][/b][/color][b]Scheitelpunktform -> Allgemeine Form:[/b] [i][color=#000000]ausmultiplizieren[/color][/i][br][color=#ff0000][b][i][br][/i][/b][/color][b]Allgemeine Form -> Scheitelpunktform:[/b] [i][color=#000000]quadratische Ergänzung (siehe Video)[/color][/i]

Bewege die Schieberegler der Funktions s(x) und vergleiche sie mit der Funktion der Normalparabel n(x). Beobachte dabei die Veränderung des Funktionsterms:[br][br][table][tr][td][math]a=0[/math][/td][td][i]Funktion konstant[/i][/td][/tr][tr][td][i][/i][math]a>0[/math][/td][td][i]Parabel nach oben geöffnet[/i][/td][/tr][tr][td][i][/i][math]a<0[/math][/td][td][i]Parabel nach unten geöffnet[/i][/td][/tr][tr][td][i][/i][math]a=1[/math][/td][td][i]Normalparabel (weder gestreckt noch gestaucht)[/i][/td][/tr][tr][td][math]a>1[/math] oder [math]a<-1[/math][/td][td][i]Parabel gestreckt[/i][/td][/tr][tr][td][math]1>a>0[/math] oder [math]0>a>-1[/math][/td][td][i]Parabel gestaucht[/i][br][/td][/tr][/table][table][tr][td][math]x_s[/math] [br][/td][td][i]x-Koordinate des Scheitelpunktes[/i][/td][/tr][tr][td][i][/i][math]y_s[/math][/td][td][i]y-Koordinate des Scheitelpunktes[/i][/td][/tr][/table]

Zur Ermittlung des Funktionsterms anhand einer gegebenen Parabel nutzen wir die Scheitelpunktform [math]f\left(x\right)=a\cdot\left(x-x_s\right)^2+y_s[/math] und gehen wie folgt vor:[br][list][*][i]Scheitelpunkt S ablesen[/i][/*][*][i]Zweiten Punkt [/i][math]P\left(x_p;y_p\right)[/math][i] auf der Parabel ablesen[/i][/*][*][i]Koordinaten von P und des Scheitelpunkts in Funktionsterm einsetzen (vgl. [url=https://www.youtube.com/watch?v=tD5MQfg3fY4][/url][url=https://www.youtube.com/watch?v=tD5MQfg3fY4]Punktprobe[/url])[/i][/*][*][i]Nach a auflösen[/i][/*][*][i]Koordinaten des Scheitelpunkts und a in Scheitelpunktform einsetzen. Fertig![/i][/*][/list]

Unsere Bedingung lautet: [math]f\left(x\right)=0[/math][br][br][b]Beispiel: [/b]Nullstellen von [math]f\left(x\right)=2\left(x-3\right)^2-2[/math][b][br][/b][list][*][math]2\left(x-3\right)^2-1=0[/math]  [i]Funktionsterm nullsetzen[/i][/*][*][i][math]2x^2-12x+16=0[/math] In die allgemeine Form bringen[/i][/*][*][i][math]x^2-6x+8=0[/math] In die Normalform bringen (durch 2 bzw. a dividieren)[/i][/*][*][i][math]x_{1,2}=-\frac{-6}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-6}{2}\right)^2-8}[/math] pq-Formel anwenden[/i][/*][*][math]x_1=4[/math]; [math]x_2=2[/math] [i]x-Werte berechnen[/i][br][/*][*][math]N_1\left(4;0\right)[/math]; [math]N_2\left(2;0\right)[/math] [i]Koordinaten notieren[/i][/*][/list]

Unsere Bedingung lautet: [math]f\left(x\right)=g\left(x\right)[/math][br][br][b]Beispiel:[/b] Schnittstellen von [math]f\left(x\right)=\left(x-3\right)^2[/math] und [math]g\left(x\right)=-x+5[/math][br][list][*][math]\left(x-3\right)^2=-x+5[/math] [i]Funktionen gleichsetzen[/i][/*][*][math]x^2-6x+9=-x+5[/math] [i]Klammer ausmultiplizieren[/i][/*][*][i][math]x^2-5x+4=0[/math] alles auf eine Seite bringen[/i][/*][*][i][math]x_{1,2}=-\frac{-5}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-5}{2}\right)^2-4}[/math] pq-Formel anwenden[/i][/*][*][math]x_1=1[/math]; [math]x_2=4[/math] [i]x-Werte berechnen[/i][/*][*][math]g\left(x=1\right)=-1+5=4[/math]; [math]g\left(x=4\right)=-4+5=1[/math] [i]x-Werte in eine der Funktionen einsetzen und y-Koordinate des Schnittpunkts berechnen[/i][/*][*][math]S_1\left(1;4\right)[/math]; [math]S_2\left(4;1\right)[/math] [i]Koordinaten notieren[/i][/*][/list]