ミッテンプンクトとは傍心三角形のルモアール点（類似重心） ルモアール点と内心とミッテンプンクトは直線上に並ぶ。 垂心＋ルモアール点＋外心は一つの双曲線上に並ぶ。 垂心＋内心＋ミッテンプンクト＋ジェルゴンヌ点＋刈屋点も一つの双曲線上に並ぶ。 これで、３本の双曲線が見つかった。 (1) HとGを通る双曲線（キーペルト双曲線） (2) HとKとOを通る双曲線（HKO双曲線） （＝オイラー線上の点の垂直二等分線に対する鏡映点と頂点を結んだ交点の軌跡は双曲線） (3) HとIを通る双曲線（フォイエルバッハ双曲線） (4) AとCとHとIと傍心の垂線の交点を二次曲線で結ぶと、刈屋点の傍心での軌跡と一致する。 これは楕円になる場合もある。Aをいろいろ動かすと、三角形の宇宙が見える。