Dans cette feuille dynamique, nous définissons les grands et les petits cercles, les arcs de grands cercles, les pôles et plus encore. Il faut s'assurer d'apprendre rapidement ces définitions si l'on ne veut dévier de l'arc de grand cercle menant à la compréhension.

Nous savons que l'intersection d'un plan et d'une sphère est un cercle. Si le plan passe par le centre de la sphère, on appelle alors le cercle tracé sur le plan un [b]grand cercle[/b]. Comme le centre d'un grand cercle est le centre de la sphère, le rayon du grand cercle est le même que celui de la sphère. C'est donc le plus grand cercle que l'on peut obtenir en sectionnant une sphère par un plan.[br][br]Si le plan ne passe pas par le centre de la sphère, on parle alors d'un [b]petit cercle[/b]. Comme nous le verrons bientôt, ce sont les grands cercles qui ont tout pour plaire.

Il ne passe qu'un seul grand cercle par deux points distincts [math]A[/math] et [math]B[/math] sur la sphère. En effet, il n'existe qu'[i]un seul plan[/i] passant par les trois points [math]A[/math], [math]B[/math] et le centre [math]O[/math] de la sphère [à moins que les points [math]A[/math] et [math]B[/math] soient diamétralement opposés : que se passe-t-il dans ce cas?]. L'intersection entre ce plan unique et la sphère est donc le seul grand cercle passant par les deux points [math]A[/math] et [math]B[/math]. Nous noterons par [math]\boxed{\overleftrightarrow{AB}}[/math] le grand cercle passant par [math]A[/math] et [math]B[/math].

Par contre, il passe une multitude de petits cercles par deux points [math]A[/math] et [math]B[/math], comme le montre l'appliquette ci-dessous. Mais, pour les mêmes raisons que précédemment, il ne passe qu'un seul petit cercle par trois points (non alignés).

Si l'on regarde le grand cercle [math]\overleftrightarrow{AB}[/math] passant par [math]A[/math] et [math]B[/math], on remarque que ces deux points le divisent en deux arcs de cercle : un petit et un grand (sauf évidemment si les deux points sont diamétralement opposés, mais c'est un détail sans conséquence). Comme c'est du petit arc que naîtront les miracles, appelons [b]arc de grand cercle[/b] le plus [u][color=#ff0000]petit[/color][/u] des deux arcs reliant les points [math]A[/math] et [math]B[/math] sur le grand cercle. Nous noterons par [math]\boxed{\overline{AB}}[/math] l'arc de grand cercle reliant [math]A[/math] et [math]B[/math].

Érigeons la droite perpendiculaire au plan contenant un cercle et passant par le centre de ce cercle. Cette perpendiculaire ira perforer la sphère en deux points que l'on appelle les [b]pôles[/b] de ce cercle sur la sphère. Les pôles seront d'une utilité surprenante dans la suite des choses.