Finora abbiamo studiato alcune leggi che descrivono diversi modelli di cambiamento delle quantità. Una delle principali tra quelle che abbiamo visto è quella dell'[b]andamento lineare[/b] o [b]proporzionalità lineare[/b], che descrive situazioni in cui la variazione è costante in termini assoluti. Ad esempio se ho 500€ e per ogni ora di lavoro guadagno 20€, il denaro totale in mio possesso aumenta linearmente, perché ad una fissata variazione della variabile indipendente [math]\large{x}[/math] (lavoro 1 ora in più) corrisponde sempre una stessa variazione della variabile dipendente [math]\large{y}[/math] (il mio patrimonio aumenta di 20€). Si parla di andamento lineare perché la relazione [math]\large{y=500+20x}[/math] è rappresentata sul piano da una retta. [br][br]Vediamo ora un diverso tipo di andamento, altrettanto importante, in cui la variazione è ancora costante ma in termini [i]relativi[/i].

Proviamo a fare il punto, e nel frattempo vediamo qualche altro esempio[br][br][size=150][color=#ff0000]LA FUNZIONE LINEARE (LA RETTA)[/color][/size][br][b][color=#ff0000]Una funzione lineare indica una variazione [u]ASSOLUTA[/u] costante[/color][/b], cioè a parità di variazione dell'input [math]\large{x}[/math], il risultato [math]\large{y}[/math] varia sempre della stessa quantità. [br][br][color=#0000ff][b]ESEMPIO:[/b][/color] se metto in banca 2000€ e mi vengono dati 200€ di interessi all'anno.[br][br]Il mio patrimonio totale [math]\large{P(a)}[/math] al passare degli anni [math]\large{a}[/math] è dato da [math]\large{P(a)=\textcolor{#008800}{2000}+\textcolor{red}{200}a}[/math].[br][list][*][math]\large{\textcolor{#008800}{2000}}[/math] indica la [color=#38761d][b]situazione iniziale[/b][/color], in questo caso il mio patrimonio all'anno [math]\large{0}[/math], infatti [math]\large{P(\textcolor{blue}{0})=\textcolor{#008800}{2000}+\textcolor{red}{200}\cdot \textcolor{blue}{0}=\textcolor{#008800}{2000}}[/math][br][br][/*][*][math]\large{\textcolor{red}{200}}[/math] indica la [color=#ff0000][b]velocità ASSOLUTA con cui varia la grandezza[/b][/color] in esame, in questo caso il mio patrimonio aumenta di 200€ [b][color=#ff7700]ogni anno[/color][/b], in fatti dopo [math]\large{\textcolor{#ff7700}{x}}[/math] anni ho [math]\large{+\textcolor{red}{200}\cdot\textcolor{#ff7700}{x}}[/math] euro in più.[/*][/list][br]

[color=#ff0000][size=150]LA FUNZIONE ESPONENZIALE[br][/size][b]Una funzione esponenziale indica una variazione [/b][u][b]RELATIVA[/b][/u][b] costante[/b][/color], cioè a parità di variazione dell'input [math]\large{x}[/math], la variabile dipendente [math]\large{y}[/math] cambia di una frazione (o percentuale) costante del valore assunto in quel momento. [br][br][b][color=#0000ff]ESEMPIO 1:[/color][/b] In un bosco ci sono 4000 piante ma un'epidemia fa sì che ogni anno ne muoia [b]la metà[/b]. [br][br]La quantità ASSOLUTA di piante che sparisce ogni anno NON è costante, perché ogni anno il numero di alberi diminuisce della metà (cioè il 50%) [b]di quelli presenti [u]quell[/u]'anno [/b]. Riformuliamo il problema concentrandoci sulle piante che restano: se ne muore la metà, ne resta l'altra metà, possiamo verificare che il numero di piante dopo [math]\large{a}[/math] anni è dato dalla funzione[br][br][math]\large{P(a) = \textcolor{#007700}{4000} \cdot \left ( \textcolor{red}{\frac{1}{2}} \right )^a}[/math][br][list][*][math]\large{\textcolor{#008800}{4000}}[/math] indica la [color=#38761d][b]situazione iniziale[/b][/color], in questo caso il numero di piante all'anno [math]\large{0}[/math], infatti [math]\large{P(\textcolor{blue}{0})=\textcolor{#008800}{4000}\cdot \left ( \textcolor{red}{\frac{1}{2}} \right )^\textcolor{blue}{0}=\textcolor{#008800}{4000}}[/math][br][br][/*][*][math]\large{\textcolor{red}{\frac{1}{2}}}[/math] indica la [b][color=#ff0000]variazione[/color][/b][color=#ff0000][b] RELATIVA della grandezza[/b][/color] in esame, in questo caso [b][color=#ff7700]ogni anno[/color][/b] rimane [math]\large{\textcolor{red}{\frac{1}{2}}}[/math], cioé il [math]\large{\textcolor{red}{50\%}}[/math] , delle piante presenti l'anno precedente. [br]* Dopo un anno ci sono [math]\large{P(\textcolor{blue}{1})=\textcolor{#008800}{4000}\cdot \left ( \textcolor{red}{\frac{1}{2}} \right )^\textcolor{blue}{1}=\textcolor{#008800}{2000}}[/math] piante cioè [color=#ff0000]la metà di quelle presenti all'inizio[/color], [br]* dopo 2 anni ce ne sono [math]\large{P(\textcolor{blue}{2})=\textcolor{#008800}{4000}\cdot \left ( \textcolor{red}{\frac{1}{2}} \right )^\textcolor{blue}{2}=\textcolor{#008800}{1000}}[/math] , cioè [color=#ff0000]la metà di quelle presenti [u]alla fine del primo anno[/u][/color]: [math]\large{P(\textcolor{blue}{2})=\textcolor{#008800}{4000}\cdot \left ( \textcolor{red}{\frac{1}{2}} \right )^\textcolor{blue}{2}=\underbrace{\textcolor{#008800}{4000}\cdot \textcolor{red}{\frac{1}{2}} }_{P(\textcolor{blue}{1})} \cdot \textcolor{red}{\frac{1}{2}}}[/math]. [br]* ...e così via: [math]\large{P(\textcolor{blue}{3})=\underbrace{\textcolor{#008800}{4000}\cdot \left (\textcolor{red}{\frac{1}{2}} \right )^2 }_{P(\textcolor{blue}{2})} \cdot \textcolor{red}{\frac{1}{2}}=\textcolor{#008800}{4000}\cdot \left ( \textcolor{red}{\frac{1}{2}} \right )^\textcolor{blue}{3}}[/math].[br]In generale dopo [math]\large{\textcolor{#ff7700}{x}}[/math] ci sono [math]\large{P(\textcolor{#ff7700}{x})=\textcolor{#008800}{4000}\cdot \left ( \textcolor{red}{\frac{1}{2}} \right )^\textcolor{blue}{\textcolor{#ff7700}{x}}}[/math] piante, cioè il numero delle piante [b]è dimezzato[/b] [math]\large{\textcolor{#ff7700}{x}}[/math] volte.[/*][/list][br][br]

[size=150][color=#ff0000]UN ESEMPIO PIÚ COMPLESSO: VARIAZIONI PERCENTUALI (E/O FRAZIONARIE)[/color][/size][br][br]Abbiamo visto che la funzione esponenziale descrive andamenti in cui [b]la variazione [u]relativa[/u] della quantità è costante[/b]: nel primo esempio ogni anno rimaneva la metà delle piante [u]dell'anno precedente[/u]. Possiamo generalizzare e studiare un andamento in cui la variazione sia una frazione (o una percentuale, dato che sono la stessa cosa) qualsiasi della quantità di riferimento.[br][b][color=#0000ff][br]ESEMPIO 2:[/color][/b] Metto 2000€ in banca ed ogni anno mi danno il 10% di interesse. [br][br]Prima di capire come la si ottiene, lo vedremo più sotto in questo paragrafo, verifichiamo che l'andamento del mio patrimonio è caratterizzato in modo simile al caso precedente: [br][math]\Large{P(a)=\textcolor{#007700}{2000}\cdot \textcolor{red}{1,1}^a}[/math], dove[br][list][*][math]\large{\textcolor{#008800}{2000}}[/math] indica la [color=#38761d][b]situazione iniziale[/b][/color], in questo caso il mio patrimonio all'anno [math]\large{\textcolor{blue}{0}}[/math], infatti [math]\large{P(\textcolor{blue}{0})=\textcolor{#008800}{2000}\cdot \textcolor{red}{1,1}^\textcolor{blue}{0}=\textcolor{#008800}{2000}}[/math][br][br][/*][*][math]\large{\textcolor{red}{1,1}}[/math] è li fattore moltiplicativo che indica la [color=#ff0000][b]variazione relativa che subisce la grandezza[/b][/color] in esame. Ogni anno infatti il mio patrimonio viene moltiplicato per [math]\large{\textcolor{red}{1,1}}[/math] e quindi per [math]\large{\textcolor{red}{1,1 = \frac{110}{100} = 110\% = 100\%+10\%}}[/math], e quindi vi è stato aggiunto il [math]\large{\textcolor{red}{10\%}}[/math] del patrimonio dell'anno precedente.[/*][/list][br]Infatti se considero il patrimonio iniziale di [math]\large{\textcolor{#008800}{2000}}[/math] euro, dopo un anno ho [br][br][math]\large{P(\textcolor{blue}{1})=\textcolor{#008800}{2000}\cdot \textcolor{red}{1,1}^\textcolor{blue}{1}=\textcolor{#008800}{2000}\cdot \textcolor{red}{\frac{110}{100}}=\textcolor{#008800}{2000}\cdot \textcolor{red}{\left (\frac{100}{100}+ \frac{10}{100} \right )} }[/math][br][br]applicando la proprietà distributiva ottengo[br][br][math]\large{P(\textcolor{blue}{1})=\textcolor{#008800}{2000}\cdot \textcolor{red}{\frac{100}{100}}+\textcolor{#008800}{2000}\cdot \textcolor{red}{\frac{10}{100}}=\underbrace{\textcolor{#007700}{2000} \cdot \textcolor{red}{1}}_{\small{\mbox{soldi iniziali}}} + \underbrace{\textcolor{#007700}{2000} \cdot \textcolor{red}{10\%}}_{\small{\mbox{interessi}}}}[/math][br][br]Abbiamo quindi ripassato quanto sapevamo già, e che è essenziale per comprendere l'andamento esponenziale, cioè che [b]aumentare una quantità del 10% equivale quindi a moltiplicarla per un fattore moltiplicativo[/b] [math]\large{\left (1+\textcolor{red}\frac{10}{100} \right )}[/math]. [br][br]Il discorso si ripete, come al solito, gli anni successivi. Al secondo anno ho[br][br][math]\large{P(\textcolor{blue}{2})=\textcolor{#008800}{2000}\cdot \textcolor{red}{1,1}^\textcolor{blue}{2}=\underbrace{\textcolor{#007700}{2000} \cdot \textcolor{red}{1,1}}_{\small{\mbox{P(1)}}}\cdot \textcolor{red}{1,1} }[/math][br][br]Cioè il patrimonio alla fine del secondo anno si ottiene moltiplicando quello ottenuto alla fine del primo anno per [math]\large{\textcolor{red}{1,1}}[/math], cioè aumentandolo del [b]suo[/b] [math]\large{\textcolor{red}{10\%}}[/math]. E così via.[br][br]Il meccanismo è evidente se osserviamo una tabella con i valori per alcuni anni:[br][br][table][tr][td]Anni trascorsi[/td][td]Patrimonio[/td][td]calcolo interessi[/td][/tr][tr][td][color=#0000ff]0[/color][/td][td][math]2000\cdot1,1^\textcolor{blue}{0}=2000[/math][/td][td]nessun interesse ancora maturato[/td][/tr][tr][td][color=#0000ff]1[/color][/td][td][math]2000\cdot1,1^\textcolor{blue}{1}=2200[/math][/td][td]10% di 2000=200[/td][/tr][tr][td][color=#0000ff]2[/color][/td][td][math]2000\cdot 1,1^\textcolor{blue}{2} = 2420=2200+\mathbf{220}[/math][/td][td]10% [b]di 2200[/b]=220[/td][/tr][tr][td][color=#0000ff]3[/color][/td][td][math]2000\cdot 1,1^\textcolor{blue}{3} = 2662 = 2420+\mathbf{242}=2662[/math][/td][td]10% [b]di 2420[/b]=242[/td][/tr][/table][br]Come si vede la [b]variazione percentuale[/b], cioè relativa, è sempre costante, ma [b]ogni volta si tratta della percentuale di una quantità differente[/b], cioè dei soldi in banca [b]all'inizio di quell'anno[/b], e quindi la variazione assoluta (i soldi guadagnati da un anno all'altro) cambia sempre. [br][br]Riscrivendo le caratteristiche di un andamento esponenziale in termini di percentuali abbiamo quindi che ne nostro esempio [math]\Large{P(a)=\textcolor{#007700}{2000}\cdot \textcolor{red}{1,1}^a}[/math] abbiamo: [br][list][*][math]\large{\textcolor{#008800}{2000}}[/math] indica la [color=#38761d][b]situazione iniziale[/b][/color], in questo caso il mio patrimonio all'anno [math]\large{\textcolor{blue}{0}}[/math], infatti [math]\large{P(\textcolor{blue}{0})=\textcolor{#008800}{2000}\cdot \textcolor{red}{1,1}^\textcolor{blue}{0}=\textcolor{#008800}{2000}}[/math][br][br][/*][*][math]\large{\textcolor{red}{1,1}}[/math] è li fattore moltiplicativo che indica la [color=#ff0000][b]variazione relativa che subisce la grandezza[/b][/color] in esame. Può essere espresso mettendo in evidenza la variazione relativa come [math]\large{(1+\textcolor{red}{p})}[/math]: abbiamo visto che l'1 è associato al mantenimento della quantità iniziale e [math]\large{\textcolor{red}{p}}[/math] indica la variazione relativa (che può essere positiva o negativa) in termini di frazione e/o percentuale. Nel nostro esempio avevamo [math]\large{\textcolor{red}{1,1}=\left (1+\textcolor{red}{0,1} \right)=\left (1+\textcolor{red}{\frac{1}{10}} \right)=\left (1+\textcolor{red}{\frac{10}{100}} \right)=\left (1+\textcolor{red}{10\%} \right)}[/math], che sono tutte forme equivalenti di [math]\large{\textcolor{red}{p}}[/math].[/*][/list][br]Nei grafici sotto si può vedere come l'andamento esponenziale aumenti in modo molto più rapido di quello lineare: la funzione di quest'ultimo esempio viene confrontata con quella del primo esempio fatto di andamento lineare.[br]

[size=150][color=#ff0000]RICONOSCERE L'ANDAMENTO DEI DATI[br][/color][/size]Ripetiamo per l'ennesima volta la differenza tra andamento lineare ed esponenziale:[br][list][*]nell'andamento lineare a parità di variazione delle [math]\large{x}[/math] si ha una variazione [b]assoluta[/b] costante delle [math]\large{y}[/math] [br][/*][*]nell'andamento lineare a parità di variazione delle [math]\large{x}[/math] si ha una variazione [b]relativa[/b] costante delle [math]\large{y}[/math][/*][/list][br]Abbiamo compreso veramente bene questo concetto se sappiamo riconoscere i due andamenti partendo da dati concreti. Vediamo il seguente esempio.[br][br][b][color=#0000ff]ESEMPIO 3[/color][/b][br]In un parco naturale ci sono tre gruppi di caprioli che vengono tenuti in condizioni differenti; a partire da un certo anno viene registrata la popolazione di ognuno dei tre gruppi. Utilizzando i dati riportati sotto, fai una previsione sulla popolazione di ognuno dei tre gruppi a dieci anni dall'inizio del monitoraggio.[br][br][color=#ff0000]GRUPPO 1[br][/color][table][tr][td][color=#ff0000]anno[/color][/td][td][color=#ff0000]popolazione[/color][/td][/tr][tr][td][color=#ff0000]3[/color][/td][td][color=#ff0000]3000[/color][/td][/tr][tr][td][color=#ff0000]4[/color][/td][td][color=#ff0000]3300[/color][/td][/tr][tr][td][color=#ff0000]5[/color][/td][td][color=#ff0000]3600[/color][/td][/tr][tr][td][color=#ff0000]7[/color][/td][td][color=#ff0000]4200[/color][/td][/tr][/table][br][color=#38761d]GRUPPO 2[br][/color][table][tr][td][color=#38761d]anno[/color][/td][td][color=#38761d]popolazione[/color][/td][/tr][tr][td][color=#38761d]3[/color][/td][td][color=#38761d]3000[/color][/td][/tr][tr][td][color=#38761d]4[/color][/td][td][color=#38761d]3300[/color][/td][/tr][tr][td][color=#38761d]5[/color][/td][td][color=#38761d]3630[/color][/td][/tr][tr][td][color=#38761d]7[/color][/td][td][color=#38761d]4392[/color][/td][/tr][/table][br][br][color=#0000ff]GRUPPO 3[br][/color][table][tr][td][color=#0000ff]anno[/color][/td][td][color=#0000ff]popolazione[/color][/td][/tr][tr][td][color=#0000ff]3[/color][/td][td][color=#0000ff]3000[/color][/td][/tr][tr][td][color=#0000ff]4[/color][/td][td][color=#0000ff]3390[/color][/td][/tr][tr][td][color=#0000ff]5[/color][/td][td][color=#0000ff]3831[/color][/td][/tr][tr][td][color=#0000ff]7[/color][/td][td][color=#0000ff]4523[/color][/td][/tr][/table][br][color=#ff0000]Partiamo dal gruppo 1[/color]. Nel primo anno in cui sono stati rilevati i dati (anno 3-4) la variazione è stata di [math]\large{3300-3000=300}[/math] unità. Poiché anche nella seconda annualità (anno 4-5) si ha una variazione pari a [math]\large{3600-3300=300}[/math] caprioli, [color=#ff0000]la variazione [b]assoluta[/b] (in questo caso 300 caprioli) in un dato intervallo (in questo caso annuale) sembra essere costante[/color]. Lo verifichiamo con l'ultimo periodo, che essendo il doppio degli altri (anni 5-7), dovrebbe portare ad una variazione doppia, ed infatti [math]\large{4200-3600=600}[/math]. [color=#ff0000]Il gruppo 1 ha quindi un andamento lineare[/color], che è descritto dalla funzione [math]\large{\textcolor{red}{c_1(a)}}[/math]:[br][br][math]\large{\textcolor{red}{c_1(a) = 300\cdot a}+q}[/math][br][br]Per trovare [math]\large{q}[/math] imponiamo il passaggio per una qualsiasi delle coppie di valori, ad esempio che al terzo anno ci siano [math]\large{3000}[/math] caprioli:[br][br][math]\large{\textcolor{red}{3000 = 300\cdot 3}+q \qquad \rightarrow \qquad q=2100}[/math][br][br]Per fare una previsione sulla popolazione dopo [math]\large{10}[/math] anni quindi basta valutare:[br][br][math]\large{\textcolor{red}{c_1(\textcolor{black}{10}) = 300\cdot \textcolor{black}{10} + 2100}= 5100}[/math][br]

[color=#38761d]Vediamo ora il gruppo 2[/color]. La variazione nella prima annualità (anno 3-4) è la stessa del primo gruppo, ma quella della seconda è diversa. Quindi possiamo escludere un andamento lineare. [br][br]Verifichiamo se la variazione relativa è costante. [br][br][b][color=#38761d]Nell'anno tra il terzo ed il quarto[/color][/b] abbiamo il[br][br][math]\large{\frac{3300}{3000} = \frac{11}{10} = \frac{110}{100} = 110\%}[/math][br]della quantità presente al terzo anno. Quindi in questo anno i caprioli sono aumentati del [math]\large{10\%}[/math] (o di [math]\large{\frac{1}{10}}[/math], che è la stessa cosa)[br][br][b][color=#38761d]Nell'anno tra il quarto ed il quinto[/color][/b] abbiamo il[br][br][math]\large{\frac{3630}{3300} = \frac{11}{10} = \frac{110}{100} = 110\%}[/math][br][br]della quantità presente al quarto anno. Anche in questo caso in un anno sono aumentati del [math]\large{10\%}[/math], [color=#38761d]la stessa variazione relativa, e quindi sembra che vi sia un andamento esponenziale[/color].[br][br]Verificare la coerenza dell'ultimo dato è un po' meno immediato. Nei due anni tra i 5 ed il 7 la popolazione deve essere aumentata del 10% [b]per due volte[/b], cioè deve essere[br][br][math]\large{3630 \underbrace{\cdot \frac{110}{100}}_{\small{\mbox{1°\\anno}}}\underbrace{\cdot \frac{110}{100}}_{\small{\mbox{2°\\ anno}}} = 3630 \cdot \left ( \frac{110}{100} \right )^2 = 3630 \cdot 1,1^2= 3630 \cdot 1,21 = 4392,3}[/math][br][br]Dato che i caprioli possono essere solo interi, il risultato registrato di 4392 è un'ottima approssimazione dell'andamento, che quindi può essere ritenuto esponenziale.

La funzione [math]\large{\textcolor{#008800}{c_2(a)}}[/math] che indica la popolazione del secondo gruppo [math]\large{a}[/math] anni dopo la prima rilevazione è quindi [br][br][math]\large{\textcolor{#008800}{c_2(a) = \textcolor{black}{c_0} \cdot 1,1^a}}[/math][br][br]Anche in questo caso per trovare [math]\large{c_0}[/math] imponiamo che all'anno [math]\large{3}[/math] ci siano [math]\large{3000}[/math] caprioli e troviamo i caprioli iniziali:[br][br][math]\large{\textcolor{#008800}{3000 = \textcolor{black}{c_0} \cdot 1,1^3} \qquad \rightarrow \qquad c_0 =\frac{3000}{1,1^3} \approx 2254} [/math][br] per trovare la popolazione del secondo gruppo a dieci anni dalla prima rilevazione basta sostituire [br][br][math]\large{\textcolor{#008800}{c_2(\textcolor{black}{10}) = 2254 \cdot 1,1^\textcolor{black}{10}} \approx 2254 \cdot 2,5937 = 5846,1998 }[/math][br][br]Quindi ci possiamo aspettare circa [math]\large{5846}[/math] caprioli.[br][br][color=#0000ff]Concludiamo ora con il gruppo 3[/color]. La variazione durante la prima annualità (anno 3-4) è di [math]\large{3390-3000=390}[/math] caprioli; durante il secondo periodo di un anno (anno 4-5) [math]\large{3831-3390=441}[/math]. La variazione assoluta annuale non è costante, quindi dobbiamo escludere un andamento di tipo lineare.[br][br][b][color=#0000ff]Nell'anno tra il terzo ed il quarto[/color][/b] la variazione percentuale è stata del [br][br][math]\large{\frac{3390}{3000} = 1,13 = \frac{113}{100}\quad \rightarrow \quad +13\%}[/math][br][br][b][color=#0000ff]Nell'anno tra il quarto ed il quinto[/color][/b] abbiamo[br][br][math]\large{\frac{3831}{3390} \approx 1,13 \rightarrow +13\%}[/math][br][br]La variazione relativa sembra costante, ma per poter considerare affidabile la funzione che siamo costruendo [b]essa deve dare risultati coerenti con TUTTI i dati a nostra disposizione[/b]: perché sia così nei due anni tra il 5 ed il 7 ci dovrebbe essere un aumento del 13% per due volte, quindi all'anno 7 il numero di caprioli dovrebbe essere[br][br][math]\large{3831 \cdot 1,13^2 \approx 4891,8039} \[/math][br][br]Il risultato ottenuto di circa 4892 è significativamente diverso dal dato in nostro possesso per l'anno 7, quindi neppure la variazione annuale relativa è costante, di conseguenza non si può parlare di andamento esponenziale. L'andamento dei caprioli segue un modello più complesso o che comunque non conosciamo, e quindi non siamo in grado di effettuare previsioni.