Sappiamo che una funzione [math]\large{y= f(x)}[/math] è una relazione che dato un certo valore dell'input [math]\large{x}[/math] permette di calcolare il corrispondente risultato [math]\large{y}[/math].[br][br]La [b][color=#ff0000]derivata[/color][/b] della funzione [math]\large{f(x)}[/math], che vedremo è rappresentata dai simboli [math]\large{f'(x)}[/math] o anche [math]\large{\frac{df(x)}{dx}}[/math], [color=#ff0000]è una nuova funzione, legata ad [math]\large{f(x)}[/math], che si pone il problema di calcolare la velocità con cui varia il risultato [math]\large{y}[/math] rispetto alla [math]\large{x}[/math][/color].[br][br][color=#0000ff][b]ESEMPIO 1[/b]: la funzione [math]\large{P=P(\textcolor{blue}{a})}[/math] restituisce la popolazione di una certa nazione al trascorrere in funzione degli anni, di conseguenza [math]\large{P(\textcolor{blue}{2016})}[/math] è il numero di abitanti nel [math]\large{\textcolor{blue}{2016}}[/math]. Se calcoliamo la [i]derivata[/i] di [math]\large{P}[/math], possiamo usarla per calcolare la velocità con cui cambia la popolazione; ad esempio [math]\large{P'(\textcolor{blue}{2016})}[/math] ci fornirà la velocità con cui stava aumentando o diminuendo la popolazione nel [math]\large{\textcolor{blue}{2016}}[/math].[br][/color][br]Nella seguente animazione affronteremo i seguenti passi:[br][list=1][*]vedremo come questa importante informazione è associabile visivamente all'inclinazione del grafico della funzione.[/*][*]questo ci suggerisce di rifarci al caso più semplice (e per ora l'unico) in cui sappiamo calcolare tale inclinazione [b]coefficiente angolare[/b] di una [b]retta[/b]. [/*][*]il primo passo sarà quindi quello di approssimare la curva della funzione con una spezzata, [/*][*]vedremo infine come migliorare sempre più questa approssimazione fino a giungere al risultato esatto[/*][/list]

Abbiamo visto che se i nostri soldi dopo [math]\large{t}[/math] mesi sono dati dalla funzione [math]\large{S=S(t)}[/math], la derivata [math]\large{S'(t)}[/math] della funzione ci dice la [i][b]velocità[/b] con cui questi stanno cambiando dopo[/i] [math]\large{t}[/math] mesi.[br][br]Per calcolarla seguiamo il seguente procedimento:[br][br][b][color=#ff0000]1) Calcoliamo la velocità media con cui i soldi cambiano nell'intervallo di durata [math]\large{h}[/math] tra l'istante [math]\large{t_A}[/math] e [math]\large{t_A+h}[/math].[/color][/b] Tale velocità media è data dalla solita formula [math]\large{v=\frac{\Delta S}{\Delta t}}[/math], che graficamente non è altro che il coefficiente angolare del segmento che unisce i due estremi dell'intervallo. Considerando come si calcolano le due variazioni si ha:[br] [br][math]\large{v = \frac{S(t_A+h)-S(t_A)}{h}}[/math][br][br]Questa espressione prende il nome di [b][color=#ff0000]rapporto incrementale[/color][/b], cioè [i]rapporto[/i] (divisione) tra gli [i]incrementi[/i] (le variazioni) delle due grandezze (in questo caso soldi e tempo). [br][br]Per una funzione generica [math]\large{y=f(x)}[/math] il rapporto incrementale assume la forma [br][br][math]\large{\mathscr{R}(x_A, h) = \frac{f(x_A+h)-f(x_A)}{h}}[/math][br][br]Nella scrittura [math]\large{\mathscr{R}(x_A, h)}[/math] abbiamo esplicitato il fatto che il rapporto [math]\large{\mathscr{R}}[/math] è una funzione il cui risultato dipende da due variabili: valore di partenza [math]\large{x_A}[/math] per cui la si vuole calcolare e l'estensione [math]\large{h}[/math] dell'intervallo su cui si fa la media.[br][br][color=#ff0000][b]2) Rendiamo sempre migliore l'approssimazione della media riducendo l'intervallo [/b][math]\large{h}[/math][b] su cui la si calcola[/b][/color]. Questo lo si ottiene facendo il limite del rapporto incrementale per [math]\large{h \to 0}[/math]. Mantenendo la scrittura matematica per una generica funzione [math]\large{f(x)}[/math] abbiamo: [br][br][math]\large{f'(x_A) = \lim_{h \to 0 } \mathscr{R}(x_A, h) = \lim_{h \to 0 } \frac{f(x_A+h)-f(x_A)}{h}}[/math][br][br]Il risultato di tale limite dipende solo dal valore di partenza [math]\large{x_A}[/math] per cui vogliamo calcolare la velocità ([math]\large{h}[/math] sparisce perché lo facciamo tendere ad valore determinato, in particolare a zero) ed è detto valore della [color=#ff0000][b]derivata[/b][/color] per [math]\large{x=x_A}[/math].[br][br]Dato che il calcolo della derivata può ripetersi per qualsiasi valore di [math]\large{x}[/math], la derivata [math]\large{y=f'(x)}[/math] è quindi una [b]funzione[/b] associata alla funzione "principale" [math]\large{y=f(x)}[/math] (o [b]derivata da essa[/b], appunto): mentre [math]\large{f(x)}[/math] ad un certo valore di [math]\large{x}[/math] associa un risultato corrispondente a quell'input, [math]\large{f'(x)}[/math] dato lo stesso valore di [math]\large{x}[/math] permette di calcolare la velocità con cui tale risultato sta cambiando in corrispondenza di quello stesso input (ad esempio in quell'istante, se [math]\large{x}[/math] è il tempo. [br][br]Rivediamo questi concetti nella prossima animazione, che li affronta da un punto di vista più generico di una funzione matematica e delle sue caratteristiche geometriche.

Riassumendo ancora una volta (tralasciamo i conti, questa volta):[br][list=1][*][color=#ff0000][b]vogliamo trovare l'inclinazione della funzione in un certo suo punto[/b][/color], ovvero quanto velocemente le [math]\large{y}[/math] cambiano rispetto alle [math]\large{x}[/math]. [br][br][/*][*]per farlo[color=#ff0000][b] ci appoggiamo ad una retta secante[/b][/color] alla funzione, cioè ad una retta che passa per il punto che ci interessa e per un secondo punto calcolato [b][color=#ff0000]aumentando la [math]\large{x}[/math] di un certo incremento [math]\large{h}[/math][/color][/b]. Il coefficiente angolare di questa retta, che può essere calcolato con la solita formula, si chiama[color=#ff0000][b] rapporto incrementale[/b][/color] (cioè rapporto tra l'incremento in [math]\large{y}[/math] e quello in [math]\large{x}[/math]).[br][br][/*][*]se [b][color=#ff0000]consideriamo valori sempre più piccoli per [math]\large{h}[/math][/color][/b], cioè lo facciamo tendere a [math]\large{0}[/math], la retta da secante diventa [color=#ff0000][b]tangente[/b][/color] (i due punti della funzione per cui passa diventano lo stesso punto) e la sua inclinazione può essere considerata quella che la funzione assume effettivamente in quel punto. Quello che otteniamo si chiama [b][color=#ff0000]derivata[/color][/b] della funzione nel punto.[/*][/list]