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Théorème de Thalès
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1. Introduction
- Une mise à l'échelle
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2. Démonstration
- Hypothèses de départ
- Première partie
- Seconde partie
- Généralisation
- Enoncé
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3. Contraposée
- Enoncé et usage
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4. Réciproque
- Présentation
- Démonstration
- Remarque importante
- Enoncé et usage
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5. Conclusion
- Conclusion
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6. Applications
- Thalès : Vérificateur d'exercices
- Pantographe
- Multiplication et Thalès
- Racine carrée et Thalès
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Théorème de Thalès
Jean Roussie, Sep 25, 2015
Exposé dynamique de la démonstration du Théorème de Thalès et de sa réciproque. Exemples d'utilisation et vérificateur d'exercices d'application directe du Théorème de Thalès ou de sa réciproque.
Table of Contents
- Introduction
- Une mise à l'échelle
- Démonstration
- Hypothèses de départ
- Première partie
- Seconde partie
- Généralisation
- Enoncé
- Contraposée
- Enoncé et usage
- Réciproque
- Présentation
- Démonstration
- Remarque importante
- Enoncé et usage
- Conclusion
- Conclusion
- Applications
- Thalès : Vérificateur d'exercices
- Pantographe
- Multiplication et Thalès
- Racine carrée et Thalès
Une mise à l'échelle
Il semble naturel que si nous reproduisons un objet en multipliant toute ses dimensions par un facteur constant, nous ne modifions que sa taille sans le déformer et en obtenons une représentation similaire.
Cette propriété peut être schématisée en disant que si nous modifions un triangle en multipliant les longueurs de ses cotés par un même facteur, nous obtenons un triangle similaire, c'est à dire dont les angles aux sommets sont égaux.
Les déplacements des triangles dans l'espace ne changent rien aux rapports entre leurs proportions.
Si nous nous plaçons dans la configuration dans laquelle les triangles ont en commun un sommet en commun et deux demi-droites supports des cotés correspondants, leur similitude se traduit par le parallélisme du troisième côté, et dans ce cas nous devrions avoir :
Cette relation est attribuée à Thalès de Milet, philosophe et mathématicien de la Grèce antique.
Hypothèses de départ
Préambule
La démonstration du Théorème de Thalès présentée est la démonstration qu'en a fait Euclide, un philosophe et mathématicien de la Grèce antique.
Elle est basée sur la comparaison d'aires de triangles.
Hypothèses de départ
On considère un triangle ni plat, ni réduit à un point, ce que nous traduisons par :
Soient , et trois points non alignés deux à deux distincts.
Soient et des points tels que , et .
La situation est représentée ci-dessous.
Enoncé et usage
Contraposée du Théorème du Thalès
L'énoncé du Théorème de Thalès :
Soient , et trois points non-alignés deux à deux distincts. Soit un point différent de . Soit le point tel que . Nous avons :Est équivalent, d'un point de vue logique, à sa contraposée :
Soient , et trois points non-alignés deux à deux distincts. Soit un point différent de . Soit le point différent de . Si nous avons : Alors et ne sont pas parallèles.
Usage
La contraposée du Théorème de Thalès permet démontrer, si l'on connait les longueurs des cotés des triangles correspondants, que des droites ne sont pas parallèles.
Présentation
Soient trois points , et non alignés et deux à deux distincts.
Soit et tels que les points , , et , , soient alignés dans le même ordre.
Il s'agit de prouver que :
Si nous avons deux triangles et tels que : et , , sont alignés dans le même ordre que les points , , Alors
Conclusion
Le Théorème de Thalès, complété de sa contraposée et de sa réciproque nous permet :
- Soit de calculer des longueurs dans les conditions d'applications : Points alignés et droites parallèles (voir énoncé)
- Soit de vérifier par le calcul si des droites sont parallèles ou non
Thalès : Vérificateur d'exercices
Mode d'emploi
- Renseignez les longueurs des côtés que vous connaissez à la place des ?
- Si vous êtes en configuration "papillon", décochez la case configuration imbriquée.
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