Théorème de Thalès
Exposé dynamique de la démonstration du [b]Théorème de Thalès[/b] et de sa réciproque. Exemples d'utilisation et [b]vérificateur d'exercices[/b] d'application directe du Théorème de Thalès ou de sa réciproque.
Taula de continguts
- Introduction
- Une mise à l'échelle
- Démonstration
- Hypothèses de départ
- Première partie
- Seconde partie
- Généralisation
- Enoncé
- Contraposée
- Enoncé et usage
- Réciproque
- Présentation
- Démonstration
- Remarque importante
- Enoncé et usage
- Conclusion
- Conclusion
- Applications
- Thalès : Vérificateur d'exercices
- Pantographe
- Multiplication et Thalès
- Racine carrée et Thalès
Une mise à l'échelle
Il semble naturel que si nous reproduisons un objet en multipliant toute ses dimensions par un facteur constant, nous ne modifions que sa taille sans le déformer et en obtenons une représentation similaire.
Cette propriété peut être schématisée en disant que si nous modifions un triangle en multipliant les longueurs de ses cotés par un même facteur, nous obtenons un triangle similaire, c'est à dire dont les angles aux sommets sont égaux.
Les déplacements des triangles dans l'espace ne changent rien aux rapports entre leurs proportions.[br][br]Si nous nous plaçons dans la configuration dans laquelle les triangles ont en commun un sommet en commun et deux demi-droites supports des cotés correspondants, leur similitude se traduit par le parallélisme du troisième côté, et dans ce cas nous devrions avoir :[br][br][math]\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{ED}{CB}[/math]
Cette relation est attribuée à [url=https://fr.wikipedia.org/wiki/Thalès]Thalès de Milet[/url], philosophe et mathématicien de la Grèce antique.
Hypothèses de départ
Préambule
La démonstration du Théorème de Thalès présentée est la démonstration qu'en a fait [url=https://fr.wikipedia.org/wiki/Euclide]Euclide[/url], un philosophe et mathématicien de la Grèce antique.[br][br]Elle est basée sur la comparaison d'[url=https://tube.geogebra.org/material/simple/id/1633587#material/1633445]aires de triangles[/url].
Hypothèses de départ
On considère un triangle [math]ABC[/math] ni plat, ni réduit à un point, ce que nous traduisons par :[br][br]Soient [math]A[/math], [math]B[/math] et [math]C[/math] trois points non alignés deux à deux distincts.[br][br]Soient [math]D[/math] et [math]E[/math] des points tels que [math]D\in[AB)[/math], [math]E\in[AC)[/math] et [math](DE)\parallel(BC)[/math].[br][br]La situation est représentée ci-dessous.
Enoncé et usage
Contraposée du Théorème du Thalès
L'énoncé du Théorème de Thalès :[br][quote]Soient [math]A[/math], [math]B[/math] et [math]C[/math] trois points non-alignés deux à deux distincts.[br][br]Soit un point [math]M\in(AB)[/math] différent de [math]A[/math].[br]Soit le point [math]N\in(AC)[/math] tel que [math](MN)\parallel(BC)[/math].[br][br]Nous avons :[br][br][math]\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}=\frac{NA}{CA}[/math][/quote][br][br]Est équivalent, d'un point de vue logique, à sa contraposée :[br][br][quote]Soient [math]A[/math], [math]B[/math] et [math]C[/math] trois points non-alignés deux à deux distincts.[br][br]Soit un point [math]M\in(AB)[/math] différent de [math]A[/math].[br]Soit le point [math]N\in(AC)[/math] différent de [math]A[/math].[br][br]Si nous avons :[br][br][math]\begin{cases}\frac{AM}{AB}\neq\frac{AN}{AC}\\\text{ou}\\\frac{AM}{AB}\neq\frac{MN}{BC}\\\text{ou}\\\frac{AM}{AC}\neq\frac{MN}{BC}\\\end{cases}[/math][br][br]Alors [math]\left(BC\right)[/math] et [math]\left(MN\right)[/math] ne sont pas parallèles.[/quote]
Usage
La contraposée du Théorème de Thalès permet démontrer, si l'on connait les longueurs des cotés des triangles correspondants, que des droites [u]ne sont pas parallèles[/u].
Présentation
Soient trois points [math]A[/math], [math]B[/math] et [math]C[/math] non alignés et deux à deux distincts.[br][br]Soit [math]M\in(AB)[/math] et [math]N\in(AC)[/math] tels que les points [math]A[/math], [math]B[/math], [math]M[/math] et [math]A[/math], [math]C[/math], [math]N[/math] soient alignés dans le même ordre.
Il s'agit de prouver que :[br][br][quote]Si nous avons deux triangles [math]ABC[/math] et [math]AMN[/math] tels que :[br][br][math]M\in(AB)[/math] et [math]N\in(AC)[/math][br][math]A[/math], [math]B[/math], [math]M[/math] sont alignés dans le même ordre que les points [math]A[/math], [math]C[/math], [math]N[/math][br][math]\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}[/math][br][br]Alors [math](BC)\parallel(MN)[/math][/quote]
Conclusion
Le Théorème de Thalès, complété de sa contraposée et de sa réciproque nous permet :[br][br][list][*]Soit de calculer des longueurs dans les conditions d'applications : Points alignés et droites parallèles (voir énoncé)[*]Soit de vérifier par le calcul si des droites sont parallèles ou non[/list][br][br]Le vérificateur d'exercices suivant permet d'en illustrer des utilisations possibles.
Thalès : Vérificateur d'exercices
Mode d'emploi
[list][*]Renseignez les longueurs des côtés que vous connaissez à la place des ?[br][/*][*]Si vous êtes en [b]configuration "papillon"[/b], décochez la case [b]configuration imbriquée[/b].[/*][/list]