Wurfbewegungen
Table of Contents
- Einleitung
- Einleitung
- Unabhängigkeit
- Das Unabhängigkeitsprinzip der Bewegungen
- Freier Fall
- Freier Fall ohne Reibung
- Freier Fall mit Reibung
- Lotrechter Wurf
- Der lotrechte Wurf
- Waagrechter Wurf
- Der waagrechte Wurf
- Schiefer Wurf
- Der schiefe Wurf ohne Luftwiderstand
- Der schiefe Wurf mit Luftwiderstand
- Berechnungen
- Wurfzeit
- Wurfweite
- Wurfparabel
- Beispiele und Übungen
- Übung 1: Triff das Ziel!
- Übung 2 zum schiefen Wurf
- Übung 3: Wurf mit Luftwiderstand
- Finde den optimalen Winkel!
Einleitung
Problemstellung
Ist es eigentlich von Vorteil, wenn ein Kugelstoßer sehr groß ist? Kann dieser im Vergleich zu einem kleinen Athleten bei derselben Wurfkraft eine größere Weite erzielen?[br][br]Die Antwort findest Du im Lauf dieses Kurses und bei der letzten Übung.
Hinweis
[b]Bei den grundlegenden Überlegungen zu den Wurfbewegungen[/b] wird stets angenommen, dass [b]kein Luftwiderstand [/b]auf die Körper einwirkt. Nur diese [b] unrealistische Vereinfachung[/b] ermöglicht uns eine [b] einfache mathematische Behandlung.[/b][br]Für fortgeschrittene Leser sind auch Überlegungen für Wurfbewegungen unter Einfluss des Luftwiderstands angeführt; diese können allerdings bei einer Einführung in das Thema übergangen werden.
Das Unabhängigkeitsprinzip der Bewegungen
Das [b]Unabhängigkeitsprinzip der Bewegungen[/b] besagt, dass man sich jede Bewegung aus Teilbewegungen bestehend vorstellen kann. Diese Teilbewegungen können vektoriell addiert werden und überlagern sich ungestört. [br]Dies gilt allerdings nur für den Fall, dass der Luftwiderstand nicht berücksichtigt wird![br]So kann man jede [b] Wurfbewegung[/b] stets in eine [b] waagrechte und eine lotrechte Komponente[/b] zerlegen.
Beispiel: Schiefer Wurf
Der schiefe Wurf kann in eine gleichförmige Bewegung in Richtung des Abschusses und in eine gleichmäßig beschleunigte Bewgungen nach unten (freier Fall) zerlegt werden.
Aufgabe
[list][br][*]Verändere den Abwurfwinkel α und die Abschussgeschwindigkeit v[sub]0[/sub].[br][*]Lass die Zeit t mit dem Schieberegler vergehen.[br][*]Stelle die Verhältnisse beim waagrechten Wurf dar.[br][/list]
Untersuche!
Wie weit kommt der Ball (y=0) bei einem Abschusswinkel von 50° und einer Abschussgeschwindigkeit von 24,5 m/s ?
Freier Fall ohne Reibung
Für den freien Fall gilt die Bewegungsgleichung[br] m·a = m·g[br] a = g[br][br]Die Tatsache, dass sich in dieser Gleichung die Masse wegkürzt, bedeutet, dass die Masse auf die Bewegung eines Körpers im freien Fall keinen Einfluss hat.[br][br]Beschleunigung [math]a(t) = g[/math][br]Geschwindigkeit [math]v(t) = g·t + v_0[/math][br]Weg [math]s(t) = \frac{g}{2} \cdot t^2 + v_0 \cdot t + s_0[/math][br][br]Die 2. Zeile zeigt, dass alle Körper mit derselben Geschwindigkeit fallen.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Lass die Zeit t mit dem Schieberegler vergehen oder spiel die Animation ab.[br][br]Beantworte folgende Fragen:[br][list][br][*]Welchen Weg hat der Körper nach 1 bzw. 2 Sekunden zurückgelegt?[br][/*][*]Ist die Fallgeschwindigkeit eines Körpers nach 1 Sekunde abhängig von der Ausgangshöhe?[br][/*][*]Nach wie viel Sekunden erreicht der Körper aus einer Höhe von 18 m ungefähr den Boden?[br]Berechne mit Papier und Bleistift und überprüfe mit dem Applet.[br][/*][*]Welche Aufschlaggeschwindigkeit hat der Körper bei einem Fall aus 20 m Höhe?[br]Berechne mit Papier und Bleistift und überprüfe mit dem Applet.[br][/*][*]Aus welcher Höhe muss ein Körper gefallen sein, wenn er mit ca. 13 m/s auf dem Boden aufschlägt?[br]Berechne mit Papier und Bleistift und überprüfe mit dem Applet.[br][/*][/list]
Andreas Lindner
Der lotrechte Wurf
Der [b]lotrechte Wurf[/b] setzt sich aus einer gleichförmigen Bewegungmit der Anfangsgeschwindigkeit v[sub]0[/sub] nach oben und dem freien Fall zusammen.[br][br]Momentangeschwindigkeit [math]v(t)=v_o-g·t[/math] (v[sub]o[/sub] Anfangsgeschwindigkeit)[br]zurückgelegter Weg [math]s(t)=s_o + v_o·t-\frac{g}{2}·t^2[/math] (s[sub]o[/sub] Anfangsort, Höhe H) [br][br]Beantworte die folgenden Fragen und erkläre bzw. berechne, wie du auf die Lösungen kommst! Verwende dazu die beiden gegebenene Formeln für die Momentangeschwindigkeit und den zurückgelegten Weg![br][br][b]Wann wird der höchste Punkt der Flugbahn erreicht?[/b][br][math]t_{s} = \frac{v_o}{g}[/math] [i] Steigzeit[/i][br][br][b]Welche Höhe erreicht ein Körper mit der Anfangsgeschwindigkeit v[sub]0[/sub]?[/b][br][math]s_{\max}=\frac{v_{o}^2}{2g}[/math] [i] Maximale Höhe[/i][br][br][b]Wie lange braucht ein Körper, um vom höchsten Punkt wieder den Ausgangspunkt zu erreichen?[/b][br][math]t_F=\frac{v_o}{g}[/math] [i] Fallzeit (= Steigzeit)[/i][br][br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verändere die Anfangsgeschwindigkeit v0 und die Abschusshöhe H! [br]Lass die Zeit t mit dem Schieberegler vergehen oder spiel die Animation ab.
Berechne!
Julia wirft einen Ball senkrecht in die Höhe und fängt ihn danach wieder auf.[br]Welche maximale Höhe kann ein Ball mit einer Anfangsgeschwindigkeit v_0 = 10 m/s erreichen? Wie lange braucht er dafür?[br]Wie lange ist der Ball in der Luft und welchen Weg hat er insgesamt zurückgelegt?
Der waagrechte Wurf
Der [b]waagrechte Wur[/b]f setzt sich aus einer gleichförmigen Bewegung mit der Anfangsgeschwindigkeit in waagrechter Richtung und dem freien Fall zusammen. [br]Die beiden Bewegungen beeinflussen einander nicht, solange der Luftwiderstand nicht berücksichtigt wird.[br][br]Spiel die Animation ab und bewege die Schieberegler! Beantworte anschließend die folgenden Fragen:[br][list][*]Wie verändert sich die Wurfweite, wenn die Anfangsgeschwindigkeit kleiner bzw. größer wird?[/*][*]Wie verändert sich die Wurfweite, wenn die Höhe kleiner bzw. größer wird?[/*][*]Wie verändert sich die Momentangeschwindigkeit, wenn sich die Anfangsgeschwindigkeit ändert?[/*][*]Wie verändert sich v_x, wenn du die Animation abspielst?[/*][*]Wie verändert sich v_y, wenn du die Animation abspielst?[br][/*][/list]
Der schiefe Wurf ohne Luftwiderstand
Der schiefe Wurf ohne Luftwiderstand
Der [b]schiefe Wurf[/b] setzt sich aus einem waagrechten und einem lotrechten Wurf zusammen. Die beiden Bewegungen beeinflussen einander nicht, wenn der Luftwiderstand unberücksichtigt bleibt.[br][br][br][b]Beschreibung des schiefen Wurfes[/b][br][br][math]x(t)=v_o\cdot\cos(\alpha)\cdot t[/math][br][math]y(t)=v_o\cdot\sin(\alpha)\cdot t-\frac{g}{2}\cdot t^2 +H[/math][br][br]Die weiteren Berechnungen wie die der Wurfparabel finden sich unter >>Berechnungen, Wurfparabel.
Aufgabe
Verändere die Anfangsgeschwindigkeit v0 und die Abschusshöhe H. Lass die Zeit t mit dem Schieberegler vergehen oder spiel die Animation ab.[br][br]Kugelstoßen: [br]Welche Weitendifferenz ergibt sich bei einer Abwurfgeschwindigkeit von v[sub]o[/sub] = 13 m/s für einen Kugelstoßer mit 1,50 m bzw. 2,00 m Körpergröße (α = 45°)? (Lösung im Informationstext)
Untersuche!
Bei welchem Abschusswinkel ist die Wurfweite am größten? Stelle dazu H = 0 ein!
Wurfzeit
Formeln zum schiefen Wurf
[b] [table][tr] [td]waagrechte Ortskoordinate [math]x(t)=v_0\cdot\cos(\alpha)\cdot t[/math] [/td] [td]waagrechte Geschwindigkeitskomponente: [math]v_x(t)=v_0\cdot\cos(\alpha)[/math] [/td][/tr][tr] [td]lotrechte Ortskoordinate: [math]y(t)=v_0\cdot\sin(\alpha)\cdot t-\frac{g}{2}\cdot t^2[/math] [/td] [td]lotrechte Geschwindigkeitskomponente: [math]v_y(t)=v_0\cdot sin(a)-g\cdot t[/math] [/td][/tr][/table][br][/b]
Berechnung der Wurfzeit
Wenn der Körper den Boden berührt, ist y(t) = 0:[br][math]v_0\cdot\sin(\alpha)\cdot t_w-\frac{g}{2}\cdot t_w^2=0[/math][br][br]Diese (quadratische) Gleichung hat für t[sub]w[/sub] zwei Lösungen: [br][br]t[sub]w[/sub] = 0 (Abschuss) [br][br][b]Wurfzeit [/b][math]t_w=\frac{2v_0}{g}\cdot \sin(\alpha)[/math] (Aufprall)
Übung 1: Triff das Ziel!
Übung 1
Ein Schütze versucht ein Ziel zu treffen, das im Augenblick des Schusses fallengelassen wird. In welche Richtung muss der Schütze zielen, um das Ziel zu treffen?[br][br]Versuche, das Ziel zu treffen, indem Du[br][list][*]den Abschusswinkel α, die Anfangsgeschwindigkeit v0 oder die Abschusshöhe H veränderst,[*]die Lage des Zieles veränderst.[*]Lasse anschließend die Zeit t mit dem Schieberegler vergehen oder spiel die Animation ab.[/list]