Vektorrechnung - Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Table of Contents
- Punkte und Vektoren in 3D
- Addition von Vektoren in 2D
- Summe aus den Koordinaten berechnen
- Verknüpfung von Verschiebungen
- So addiert man also Vektoren ... eine Zusammenfassung
- ÜBUNG 1: Bilde die Summe von drei Vektoren
- Aufgabe 2: Nullvektor zusammensetzen
- Das Kommutativgesetz
- Vektor-Addition in der Physik - Beispiel 1
- Addition von Vektoren in 3D
- ÜBUNG: Kanten einer dreiseitigen Pyramide bestimmen (1)
- ÜBUNG: Kanten einer dreiseitigen Pyramide bestimmen (2)
- ÜBUNG: Quadratische Pyramide ergänzen
- ÜBUNG: Unfertigen Spat ergänzen
- Komplanarität von 3 Vektoren überprüfen
- Komplanarität von 3 Vektoren in einer Ebene überprüfen
- Komplanarität von 3 Vektoren in Ebene überprüfen (2)
- ÜBUNG 2: Addition von Vektoren zeichnerisch
- Geraden
- Parametergleichung Gerade 2D mit zwei Punkten verdeutlichen
- Parametergleichung Gerade 2D mit zwei Vektoren verdeutlichen
- Gerade im Koordinatensystem R3
- Lage von Geraden zueinander untersuchen (Fluchtpunkt-Perspektive)
- Lagebeziehung von Geraden
- Ebenen
- Normalenform von Ebenen darstellen
- Koordinatenform von Ebene mit variablen Koeffizienten ...
- Parameterdarstellung einer Ebene
- Beziehungen von Geraden und Ebenen
- Skalarprodukt
- Untersuchung des Skalarproduktes
- Wie wirkt sich der Cosinus auf das Skalarprodukt aus?
- Kugeln
- Matrizen
- Affine Abbildungen mit Matrizen
Summe aus den Koordinaten berechnen
Gegeben sind zwei Vektoren [math]\vec{u}[/math] und [math]\vec{v}[/math] , die zufällig erzeugt werden. Von ihnen sind die Koordinaten angegeben.[br][br]Vom Vektor [math]\vec{w}[/math] kannst du Anfangs- und Endpunkt bewegen.
[b]Aufgabe:[/b][br][list][br][*]Berechne aus den Koordinaten der Vektoren u und v die Summe und zeichne dann w so ein, dass er der Summe von u und v entspricht.[br][*]Dazu ist es sinnvoll w als Ortsvektor einzuzeichnen, weil man so die Koordinaten von w besser ablesen kann! Dir wird angezeigt, wenn w richtig ist.[br][/list]
ÜBUNG: Kanten einer dreiseitigen Pyramide bestimmen (1)
[b]Aufgabe:[/b] Vervollständige die Pyramide, indem du für die fehlenden Kanten Vektoren einzeichnest.[br][br]Dazu kannst du den Befehl [math]VektorVon[Anfangspunkt,Vektor][/math] verwenden, um die fehlenden Kanten (als Vektoren) einzuzeichnen. Als [i]Vektor[/i] können dabei die gegebenen Vektoren [math]\vec{a}[/math], [math]\vec{b}[/math] und [math]\vec{c}[/math] oder eine Summe von ihnen verwendet werden. In der Eingabezeile musst du für die Vektoren aber nur [math]a[/math] usw. eingeben, wie sie auch in der Ansicht angegeben sind.[br][br][i]Einen Tipp gibt es nach der Zeichnung![/i][br][br][b]TIPP:[/b] Das Drehen der Ansicht ist mit Hilfe der rechten Maustaste möglich.
ÜBUNG: Kanten einer dreiseitigen Pyramide bestimmen (1)
Probiere mal aus, wie [math]VektorVon[A,-a+b][/math] wirkt?
Parametergleichung Gerade 2D mit zwei Punkten verdeutlichen
Normalenform von Ebenen darstellen
Untersuchung des Skalarproduktes
Mit dem folgenden GeoGebra-Arbeitsblatt kannst du die Eigenschaften des [b]Skalarproduktes [/b]untersuchen.[br][br]Du kannst für das Skalarprodukt untersuchen ...[br][list][br][*]welche Bedeutung der Winkel zwischen den Vektoren hat.[br][*]wie die Längen der Vektoren es beeinflussen.[br][/list][br][br]Dazu gibt es zwei Kontrollkästchen mit Hilfsmittel[br][br]Unter der Zeichnung findest du Anweisungen, was du genau untersuchen sollst, und wie du es im Heft festhalten sollst.
[b]AUFGABEN:[/b][br][br]Stelle fest …[br][list=1][br][*] … wann das Skalarprodukt Null ist und versuche zu verallgemeinern, wann das der Fall ist. Lasse dazu erst einmal alle Hilfsmittel ausgeschaltet. Später kannst du auch wieder den Winkel sichtbar machen.[i] [b]HINWEIS: Versuche auch Vektoren finden, für die die Spitzen nicht auf den Achsen liegen![/b] Halte das Ergebnis als Satz fest.[/i][br][*] … wie sich das Skalarprodukt aus den Vektoren berechnen lässt. [b]Schalte dazu alle Hilfsmittel aus.[/b] Probiere ein wenig herum und betrachte die Koordinaten der Vektoren und das Skalarprodukt. Wenn du Wenn du den Zusammenhang zwischen Vektoren und Produkt erkannt hast, halte als Ergebnis 2 Beispiele mit Vektoren im Heft fest (Zeichnung!) und berechne dazu schriftlich (im Heft) das Skalarprodukt.[br][*] … wann das Skalarprodukt direkt aus den Längen der Vektoren berechnet werden kann. Schalte dazu den Winkel an, lege die Längen fest und schalte den Punktefang aus.[i] [b]HINWEIS: Mit den blauen Punkten links kannst du die Länge der Vektoren variieren. [/b] Probiere nun herum, bis du siehst, wann und wie das Skalarprodukt direkt von den Längen der Vektoren abhängt.[br][/list][/i]