Wir veranschaulichen die [i][b]symmetrisierende Wirkung[/b][/i] des [i][b]LIE-Produktes[/b][/i] für 4 Punkte auf einem Kreis. [br]Dazu nutzen wir die Polarität in der hyperbolischen Ebene [math]\large{\mathbf\mathcal{K}}[/math] des Kreises. Die 4 Punkte werden durch ihre Berührgeraden [math]\mathbf\vec{p}_1,\mathbf\vec{p}_2,\mathbf\vec{p}_3,\mathbf\vec{p}_4 \in\mathbf\mathcal{K}[/math] und die Berührpunkte angezeigt. Sie können bewegt werden.[br][list][*]Die [i]Verbindungsgeraden[/i] der Berührpunkte erhält man durch [math]\left[\mathbf\vec{p}_i,\,\mathbf\vec{p}_j\right] \in \mathbf\mathcal{K}[/math], [math]i,j[/math] paarweise verschieden,[/*][*]die [i]Schnittpunkte[/i] der Berührgeraden sind dazu polar: [math]í\left[\mathbf\vec{p}_i,\,\mathbf\vec{p}_j\right] \in í\cdot \mathbf\mathcal{K}[/math],[/*][*]die [i]Verbindungsgeraden[/i] der Berührgeradenschnittpunkte sind [math]\mathbf\vec{g}_{ijkl}:=\left[\left[\mathbf\vec{p}_i,\,\mathbf\vec{p}_j\right],\,\left[\mathbf\vec{p}_k,\,\mathbf\vec{p}_k\right]\right] \in \mathbf\mathcal{K}[/math], für paarweise verschiedene [math]i,j,k,l[/math].[br]Diese drei Geraden sind paarweise orthogonal![/*][*]Ihre Pole [math]í\cdot \mathbf\vec{g}_{ijkl} \in í\cdot \mathbf\mathcal{K}[/math] sind dann jeweils die Schnittpunkte der beiden anderen orthogonalen Geraden.[/*][*]Die Geraden [math]í\cdot \mathbf\vec{g}_{ijkl} \in í\cdot \mathbf\mathcal{K}[/math] gehen durch den Pol [math]\mathbf{P}_E[/math] der Ebene.[/*][/list]Die 6 Geraden bilden einen [i][b]Polar-Tetraeder[/b][/i]. Die Ecken, bzw. die Seitenebenen sind die 4 Symmetriekreise der vorgegebenen Punkte.[br]Die besondere Lage: 4 Punkte in [i][b]harmonischer Lage[/b][/i] - erkennt man daran, dass die Diagonalen (schwarz) ebenfalls durch die Berührgeradenschnittpunkte gehen.[br][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size]