Hier siehst du eine Funktion mit einer Tangente (rot). Du kannst den Punkt bewegen. Dann zeichnet das Applet einen neuen Punkt, der die Koodinaten (x/ Steigung im roten Punkt) hat. Alle blauen Punkte zusammen stellen die Ableitungsfunktion dar.

Die Normalparabel hat die Gleichung f(x)=[math]x^2[/math].[br][br]Ich möchte jetzt f '(x) berechnen. Das würde ich ja normalerweise an einem ganz bestimmten Punkt machen und dann den Wert für x einsetzen, z.B. 0,5.[br]Jetzt soll es aber ganz allgemein sein, also x soll als Stellvertreter für alle möglichen x stehen bleiben, die ich theoretisch einsetzen könnte.[br][br]Los gehts:

[math]f'\left(x\right)=lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}\right)[/math] [br]Das ist die ganz normale Definition mit dem Differentialquotienten, die wir schon kennen. Jetzt setzen wir die Zuordnungsvorschrift ein und rechnen die Klammer mit binomischer Formel aus:[br][br][math]f'\left(x\right)=lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{\left(x+h\right)^2-x^2}{h}\right)=lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}\right)[/math] [br]Das [math]x^2[/math] fällt dabei weg.[br][br][math]f'\left(x\right)=lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{2hx+h^2}{h}\right)=lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{h\cdot\left(2x+h\right)}{h}\right)=lim_{h\rightarrow0}\left(2x+h\right)\rightarrow2x[/math][br] Ich kann ausklammern, kürzen und dann für h 0 einsetzen, weil es nicht mehr unter dem Bruchstrich steht. Damit hat der Grenzübergang stattgefunden und es gilt:[br][math]f'\left(x\right)=2x[/math]