José Andrés, May 9, 2016

Estructura a seguir con el análisis de funciones.

Los puntos en los que puede fallar el dominio de una función son puntos en los cuales: [list] [*]Hay un denominador: Las raíces del denominador son puntos de discontiuidad. [*]Hay raíces de índice par: El dominio está dado por la condición de que el radicando sea mayor o igual a cero. Ej: [math]f(x) = \sqrt{x^{2} -4} \Rightarrow x^{2}-4 \geq 0[/math] [*]Hay logaritmos: El dominio está dado por la condición de que la función dentro del logaritmo sea mayor estricta que cero. Ej: [math]f(x) = \ln(3x-5) \Rightarrow 3x-5>0[/math] [*]Hay cambios de definición de f(x), funciones a trozos: Hay que estudiar los límites laterales en los puntos donde cambia la definción de f(x). Ej: [math]f(x) =\{\begin{array}{lcr} x^{3}-27&si&x\leq3\\2x -5&si& x>3\end{array}\. \Rightarrow \{\begin{array}{lcr}\lim_{x\rightarrow 3^{-}}{x^{3}-27}\\ \lim_{x\rightarrow 3^{+}}{2x -5} \end{array}\.[/math] [/list]

• 1. Diversos dominios

Recuerda que para calcular los puntos de corte con los ejes debemos revisar dos condiciones: [list=1] [*]Corte con el eje X: se iguala a cero la función. Se resuelve la ecuación correspondiente [math]f(x) = 0[/math] (puede haber más de un punto de corte). [*]Corte con el eje Y: se calcula el valor de [math]f(0)[/math] (sólo puede haber un valor. [/list]

• 1. Puntos de corte para las funciones anteriores

Las simetrías nos permiten simplificar el estudio de la funciones. Tenemos dos posibilidades: [list=1] [*]Si [math]f(-x) = f(x)[/math], la función es [b]simétrica[/b] respecto del [b]eje Y[/b], podemos decir que [b]la función es par[/b][/*] [*]Si [math]f(-x) = -f(x)[/math], la función es [b]simétrica[/b] respecto del [b]origen[/b] de coordenadas, podemos decir que [b]la función es impar[/b][/*] [/list] En cualquier otro caso, la función no tiene simetría definida. Cuando la función es par o impar, basta con realizar el análisis en el intervalo [math][0, +\infty) [/math]

• 1. Estudio de las simetrías

[b]Definición:[/b] [i] Una asíntota es una recta a la cual se aproxima una función indefinidamente sin llegar a cortarla.[/i] Supone una [i]"frontera"[/i] que no puede superar la función. Hay tres tipos de asíntotas: [list=a] [*][u]Asíntotas verticales[/u]: Se pueden localizar en puntos asociados a discontinuidades (puntos donde falla el dominio). Los puntos de asíntota vertical cumplen que: [math]\lim_{x \rightarrow a}{f(x)} =\pm \infty[/math] La A.V. es entonces la recta [i]x = a[/i].[/*] [*][u]Asíntotas horizontales[/u]: Están asociadas a las ramas infinitas de la función. Para que exista una asíntota horizontal se tiene que verificar que: [math]\lim_{x \rightarrow \pm \infty}{f(x)} = a; \forall a \in \mathbb{R}[/math] La asíntota es la recta [i] y = a[/i].[/*] [*][u]Asíntotas oblicuas[/u]: También están dentro de las ramas infinitas. Verifican la ecuación de una recta [i]y=[b]m[/b]x+[b]n[/b][/i], donde: [math] m = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}{\left( \frac{f(x)}{x}\right)}[/math] [math] n = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}{(f(x)-mx)}[/math][/*] Cuando se trata de funciones algebraicas, [math] f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}[/math], si además Grad[P(x)] = Grad[Q(x)] + 1, se puede calcular la Asíntota oblicua de una forma más sencilla, [b]basta con hacer la división euclídea P(x) : Q(x)[/b]. El resultado de dicha división es la ecuación de la asíntota oblicua [/list]

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Se calculan a partir de la primera derivada. La primera derivada da cómo cambia el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva. Esto quiere decir que, si en un punto [math]x_{0}, \, f'(x_{0})<0[/math] la pendiente de la recta tangente es negativa (decreciente) y la función será decreciente. Cuando en un punto [math]x_{0}, \, f'(x_{0})>0[/math] la pendiente de la recta tangente es positiva (creciente) y la función será creciente. Los puntos extremos se buscan entre las soluciones de la ecuación [math]f'(x) = 0[/math]

• 1. Análisis de la función