Schulmathematik Analysis

Andreas Lindner, 3 mars 2017

Ergänzungen zur Lehrveranstaltung [i]Schulmathematik Analysis[/i] Universität Linz Pädagogische Hochschule Oberösterreich

Table des matières

  1. Skriptum
    1. Skriptum zur Lehrveranstaltung
  2. Funktionen
    1. Die Funktionenmaschine
    2. Der Graph einer Funktion
    3. Der Graph einer Funktion als Punktmenge
    4. Graph im schiefwinkeligen Koordinatensystem
    5. Dynagraph bei gegebener Funktion
    6. Dynagraph bei unbekannter Funktion
    7. Kovariation
    8. Graph einer Funktion
    9. Funktionstyp erkennen
    10. Funktionen und ihre Eigenschaften
    11. Gebrochen rationale Funktionen: Verhalten bei Polstellen
    12. Wie man eine Sinuskurve zeichnet
    13. Wie sind Sinus-, Cosinus- und die Exponentialfunktion definiert?
  3. Grenzwert
    1. Folgen in expliziter und rekursiver Darstellung
    2. Darstellung einer Folge auf der Zahlengeraden
    3. Folge - rekursive Darstellung
    4. Supremum und Infimum einer Folge
    5. Monotonie und Schranken einer Folge
    6. Heron'sches (babylonisches) Wurzelziehen (Liste)
    7. Das Babylonische Wurzelziehen für die Kubikwurzel
    8. Iteration - das Prinzip
    9. Spinnweb-Diagramm
    10. Artikel: Spinnwebdiagramme
    11. Iteration der Cosinus-Funktion
    12. Grenzwert einer Folge
    13. Stetigkeit einer Funktion
    14. Reihe
    15. Achill und die Schildkröte
    16. Eine Reihe als Folge von Teilsummen
    17. Konvergieren oder nicht konvergieren?
    18. Stapel von Hölzern
    19. Grafischer Beweis für die Summe von 1 bis n
  4. Ableitung
    1. Folgenkriterium
    2. Stetigkeit einer Funktion
    3. Grenzwert einer Funktion
    4. Links- und rechtsseitiger Grenzwert einer Funktion
    5. Differenzen- und Differentialquotient
    6. Links- und rechtsseitiger Grenzwert für den Differentialquotient
    7. Stetige Fortsetzung der Differenzenquotientenfunktion
    8. Bild und Graph
    9. Momentangeschwindigkeit beim freien Fall
    10. Stetige Fortsetzung der Differenzenquotientenfunktion
    11. Paradoxon des Zenon von Elea
    12. Lupe und Tangente
    13. Zur Interpretation der Leibniz'schen Schreibweise
    14. Die Tangente als beste lineare Approximierung
    15. Monotonieverhalten 1
    16. Monotonieverhalten 2
    17. Monotonie und Konvexität
    18. Konvexe und konkave Funktionen
    19. Höhere Ableitungen
    20. Krümmung und Krümmungskreis
    21. Saftbox
    22. Der Fermatsche Punkt
    23. Dose mit minimaler Oberfläche
    24. Füllkurve eines Kegels - differentiell betrachtet
    25. Weitere Extremwertaufgaben
  5. Integral
    1. Geschwindigkeit und zurückgelegter Weg
    2. Entfernung und Weglänge
    3. Wasserzufluss
    4. Niederschlagsmenge
    5. Calculus Grapher
    6. Integralfunktion
    7. Integral- und Ableitungsfunktion 1
    8. Integral- und Ableitungsfunktion 2
    9. Hauptsatz der Integralrechnung
    10. Integral einer Treppenfunktion
    11. Riemannsumme 1
    12. Riemannsumme 2
    13. Unter- und Obersumme
    14. Limes von Unter- und Obersumme
    15. Die Koch-Kurve
    16. Integralberechnung einst und jetzt
    17. Die Keplersche Fassregel - Teil 1
    18. Die Keplersche Fassregel - Teil 2
    19. Numerische Integration
    20. Trapezregel für numerische Integration
    21. Die Simpson-Methode
    22. Durchschnittsgeschwindigkeit
    23. Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen
    24. Cavalieri-Prinzip
    25. Volumen einer Pyramide
    26. Berechnung des Rotationsvolumens
    27. Rotationskörper
    28. Berechnung der Länge einer Kurve
    29. Länge einer Kurve in 3D
    30. Näherungsweise Berechnung des Flächeninhalts 1
    31. Näherungsweise Berechnung des Flächeninhalts 2
    32. Flächeninhalt eines Vielecks
    33. Flächeninhalt einer Fläche
    34. Näherungsweise Berechnung des Flächeninhalt 1
    35. Volumen einer Kugel
    36. Straßenverlauf
  6. Aufgaben
    1. Der schiefe Wurf
    2. Grenzwert von Ober- und Untersummen
    3. Medikamenteneinnahme
    4. Epidemie

1.

Skriptum

  • 1. Skriptum zur Lehrveranstaltung

1.1.

Skriptum zur Lehrveranstaltung

Skriptum Schulmathematik Analysis Teil_1
Skriptum Schulmathematik Analysis Teil 2
Skriptum Schulmathematik Analysis Teil 3
– Andreas Lindner

2.

Funktionen

  • 1. Die Funktionenmaschine
  • 2. Der Graph einer Funktion
  • 3. Der Graph einer Funktion als Punktmenge
  • 4. Graph im schiefwinkeligen Koordinatensystem
  • 5. Dynagraph bei gegebener Funktion
  • 6. Dynagraph bei unbekannter Funktion
  • 7. Kovariation
  • 8. Graph einer Funktion
  • 9. Funktionstyp erkennen
  • 10. Funktionen und ihre Eigenschaften
  • 11. Gebrochen rationale Funktionen: Verhalten bei Polstellen
  • 12. Wie man eine Sinuskurve zeichnet
  • 13. Wie sind Sinus-, Cosinus- und die Exponentialfunktion definiert?

2.1.

Die Funktionenmaschine

– Andreas Lindner

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

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2.5.

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2.6.

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2.7.

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2.8.

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2.9.

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2.10.

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2.11.

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2.12.

–

2.13.

–

3.

Grenzwert

  • 1. Folgen in expliziter und rekursiver Darstellung
  • 2. Darstellung einer Folge auf der Zahlengeraden
  • 3. Folge - rekursive Darstellung
  • 4. Supremum und Infimum einer Folge
  • 5. Monotonie und Schranken einer Folge
  • 6. Heron'sches (babylonisches) Wurzelziehen (Liste)
  • 7. Das Babylonische Wurzelziehen für die Kubikwurzel
  • 8. Iteration - das Prinzip
  • 9. Spinnweb-Diagramm
  • 10. Artikel: Spinnwebdiagramme
  • 11. Iteration der Cosinus-Funktion
  • 12. Grenzwert einer Folge
  • 13. Stetigkeit einer Funktion
  • 14. Reihe
  • 15. Achill und die Schildkröte
  • 16. Eine Reihe als Folge von Teilsummen
  • 17. Konvergieren oder nicht konvergieren?
  • 18. Stapel von Hölzern
  • 19. Grafischer Beweis für die Summe von 1 bis n

3.1.

Folgen in expliziter und rekursiver Darstellung

– Andreas Lindner

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

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3.5.

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3.6.

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3.7.

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3.8.

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3.9.

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3.10.

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3.11.

–

3.12.

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3.13.

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3.14.

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3.15.

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3.16.

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3.17.

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3.18.

–

3.19.

–

4.

Ableitung

  • 1. Folgenkriterium
  • 2. Stetigkeit einer Funktion
  • 3. Grenzwert einer Funktion
  • 4. Links- und rechtsseitiger Grenzwert einer Funktion
  • 5. Differenzen- und Differentialquotient
  • 6. Links- und rechtsseitiger Grenzwert für den Differentialquotient
  • 7. Stetige Fortsetzung der Differenzenquotientenfunktion
  • 8. Bild und Graph
  • 9. Momentangeschwindigkeit beim freien Fall
  • 10. Stetige Fortsetzung der Differenzenquotientenfunktion
  • 11. Paradoxon des Zenon von Elea
  • 12. Lupe und Tangente
  • 13. Zur Interpretation der Leibniz'schen Schreibweise
  • 14. Die Tangente als beste lineare Approximierung
  • 15. Monotonieverhalten 1
  • 16. Monotonieverhalten 2
  • 17. Monotonie und Konvexität
  • 18. Konvexe und konkave Funktionen
  • 19. Höhere Ableitungen
  • 20. Krümmung und Krümmungskreis
  • 21. Saftbox
  • 22. Der Fermatsche Punkt
  • 23. Dose mit minimaler Oberfläche
  • 24. Füllkurve eines Kegels - differentiell betrachtet
  • 25. Weitere Extremwertaufgaben

4.1.

Folgenkriterium

Satz (Folgenkriterium)
[size=100][size=150]Sei [math]D\subseteq\mathbb{R}[/math], sei [math]f:D\longrightarrow\mathbb{R}[/math] eine Funktion und sei [math]x_0\in D[/math].[br]f ist an der Stelle x[sub]0[/sub] [i]genau dann[/i] [b]stetig[/b], [i]wenn [/i]für jede Folge [math]\left(x_n\right)\subseteq D[/math] aus der Konvergenz [math]x_n\longrightarrow x_0[/math] die Konvergenz [math]f\left(x_n\right)\longrightarrow f\left(x_0\right)[/math] folgt.[br][/size][/size][br][b]Aufgabe[/b][br]Blende eine [color=#6aa84f]linksseitige[/color], eine [color=#a61c00]rechtsseitige [/color]oder eine [color=#0000ff]beliebige [/color]Folge ein, die gegen die [color=#0000ff]Stelle x[sub]0[/sub][/color] konvergiert.[br]Überprüfe anhand von verschiedenen Funktionen (anschaulich), ob auch die Folge der Funktionswerte f(x[sub]n[/sub]) gegen f(x[sub]0[/sub]) konvergiert. [br]Wähle dazu eine Funktion f aus dem Dropdown-Feld oder gib eine neue Funktion in das Eingabefeld ein.[br]Die Anzahl der dargestellten Folgenglieder kannst Du mit dem [b]Schieberegler n[/b] erhöhen.[br]Bei Bedarf kannst Du auch in die Darstellung hineinzoomen.
– Andreas Lindner

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

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4.5.

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4.6.

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4.7.

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4.8.

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4.9.

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4.10.

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4.11.

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4.12.

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4.13.

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4.14.

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4.15.

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4.16.

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4.17.

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4.18.

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4.19.

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4.20.

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4.21.

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4.22.

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4.23.

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4.24.

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4.25.

–

5.

Integral

  • 1. Geschwindigkeit und zurückgelegter Weg
  • 2. Entfernung und Weglänge
  • 3. Wasserzufluss
  • 4. Niederschlagsmenge
  • 5. Calculus Grapher
  • 6. Integralfunktion
  • 7. Integral- und Ableitungsfunktion 1
  • 8. Integral- und Ableitungsfunktion 2
  • 9. Hauptsatz der Integralrechnung
  • 10. Integral einer Treppenfunktion
  • 11. Riemannsumme 1
  • 12. Riemannsumme 2
  • 13. Unter- und Obersumme
  • 14. Limes von Unter- und Obersumme
  • 15. Die Koch-Kurve
  • 16. Integralberechnung einst und jetzt
  • 17. Die Keplersche Fassregel - Teil 1
  • 18. Die Keplersche Fassregel - Teil 2
  • 19. Numerische Integration
  • 20. Trapezregel für numerische Integration
  • 21. Die Simpson-Methode
  • 22. Durchschnittsgeschwindigkeit
  • 23. Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen
  • 24. Cavalieri-Prinzip
  • 25. Volumen einer Pyramide
  • 26. Berechnung des Rotationsvolumens
  • 27. Rotationskörper
  • 28. Berechnung der Länge einer Kurve
  • 29. Länge einer Kurve in 3D
  • 30. Näherungsweise Berechnung des Flächeninhalts 1
  • 31. Näherungsweise Berechnung des Flächeninhalts 2
  • 32. Flächeninhalt eines Vielecks
  • 33. Flächeninhalt einer Fläche
  • 34. Näherungsweise Berechnung des Flächeninhalt 1
  • 35. Volumen einer Kugel
  • 36. Straßenverlauf

5.1.

Geschwindigkeit und zurückgelegter Weg

Ein Körper bewegt sich mit einer (nicht konstanten) Geschwindigkeit v.[br]Im unteren Fenster ist die Geschwindigkeit v (in m/s) des Körpers in Abhängigkeit von der Zeit t (in s) gegeben.[br][b][br]Aufgabe[/b][br]Zeichne im oberen Fenster mit dem Werkzeug [i]Freihandskizze[/i] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_freehandshape.png[/icon] den ungefähren Verlauf des zurückgelegten Weges s ein.[br]Versuche anschließend mit den Möglichkeiten von GeoGebra eine exakte Lösung zu ermitteln.
– Andreas Lindner

5.2.

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5.3.

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5.4.

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5.5.

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5.6.

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5.7.

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5.8.

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5.9.

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5.10.

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5.11.

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5.12.

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5.13.

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5.14.

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5.15.

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5.19.

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5.20.

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5.21.

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5.22.

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5.23.

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5.24.

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5.25.

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5.26.

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5.27.

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5.28.

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5.29.

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5.30.

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5.31.

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5.32.

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5.33.

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5.34.

–

5.35.

–

5.36.

–

6.

Aufgaben

  • 1. Der schiefe Wurf
  • 2. Grenzwert von Ober- und Untersummen
  • 3. Medikamenteneinnahme
  • 4. Epidemie

6.1.

Der schiefe Wurf

Detaillierte Ausführungen zum [b]Schiefen Wurf[/b] finden sich im [br]GeoGebra-Buch [url=https://www.geogebra.org/m/tEypsSwj]Wurfbewegungen[/url]
– Andreas Lindner

6.2.

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6.3.

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6.4.

–

Information