In der Abbildung ist ein Rechteck [i]ABCD [/i]sowie vier Geraden durch seine Eckpunkte zu sehen. Die Punkte [i]E[/i], [i]F, G[/i] und [i]H [/i]sind die Schnittpunkte dieser Geraden.[br][br]Zieh an den blauen Punkten und verändere die Geraden. Schaffst du es, das Viereck [i]EFGH [/i]ein Quadrat werden zu lassen? Formuliere deine Beobachtungen!
Ziehe nun an Punkt [i]A [/i]und verändere das Rechteck [i]ABCD[/i].[br][br]Welche besonderen Geraden sind die Geraden durch die Eckpunkte von [i]ABCD[/i]?
Die vier Geraden sind also die Winkelhalbierenden des Rechtecks [i]ABCD[/i].[br][br]Begründe: Das Dreieck [i]BCF [/i]ist gleichschenklig.
Da die Winkel [math]\angle FCB[/math] sowie [math]\angle CBF[/math] halb so groß sind wie die Innenwinkel des Rechtecks, gilt:[br][math]\left|\angle FCB\right|=\left|\angle CBF\right|=45°[/math].[br]Das Dreieck [i]BCF [/i]hat somit zwei gleich große Winkel und ist nach Basiswinkelsatz gleichschenklig.
Begründe: Das Dreieck [i]BCF [/i]ist rechtwinklig.
Da die Basiswinkel 45° groß ist, gilt nach Innenwinkelsumme für den dritten Winkel [math]\angle BFC[/math]:[br][math]\left|\angle BFC\right|=180°-\left|\angle CBF\right|-\left|\angle FBC\right|=180°-45°-45°=90°[/math] und somit ist das Dreieck rechtwinklig.
Begründe: Der Winkel [math]\angle GFE[/math] ist ein rechter Winkel.
Da, wie eben gezeigt, [math]\left|\angle BFC\right|=90°[/math] und [math]\angle GFE[/math] der Scheitelwinkel zu [math]\angle BFC[/math], ist auch [math]\left|\angle GFE\right|=90°[/math]
Begründe: [math]\angle HGF[/math] ist ein rechter Winkel. [br]Hinweis! Bewege den Schieberegler, um zwei Hinweise angezeigt zu bekommen!
Die Geraden durch A und B sind Winkelhalbierende des Rechtecks. Daher sind die Winkel [math]\angle GBA[/math] und [math]\angle BAG[/math] 45° groß. [math]\angle AGB[/math] ist nach Innenwinkelsumme im Dreieck [math]180°-45°-45°=90°[/math]groß und es ist [math]\angle HGF=\angle AGB[/math], also [math]\left|\angle HGF\right|=90°[/math].
Begründe: Das Viereck [i]EFGH [/i]ist ein Rechteck.
Die zwei anderen Winkel werden analog als rechtwinklig begründet und mit vier rechten Winkeln ist [i]EFGH [/i]ein Rechteck.
Damit haben wir gezeigt, dass [i]EFGH [/i]ein Rechteck ist. [br][br]Was muss gelten, damit [i]EFGH [/i]ein Quadrat ist? [br]Was muss also noch gezeigt werden?
Alle Seiten, [i]EF, FG, GH [/i]und [i]HE[/i], müssen gleich lang sein.[br]Dabei genügt zu zeigen, dass zwei anliegende Seiten gleich lang sind.
Begründe: Die Dreiecke [i]ABG [/i]und [i]DCF [/i]sind kongruent.
[i]ABG [/i]und [i]DCF [/i]sind nach Kongruenzsatz WSW kongruent.[br]Es ist |AB|=|CD| und die vier Basiswinkel sind jeweils 45° groß.
Begründe: Die Strecken [i]GF [/i]und [i]EF [/i]sind gleich lang.
Da [i]ABG [/i]und [i]DCF [/i]kongruent sind, sind auch deren Seiten gleich lang. Es ist also [i]|BG|=|CE|[/i].[br][br]Auch das Dreieck [i]CBF[/i] ist gleichschenklig und es gilt [i]|CF|=|BF|[/i]. Also ist auch |[i]GF|=|EF|.[/i]
Begründe: [i]EFGH [/i]ist ein Quadrat.
Da das Viereck [i]EFGH [/i]vier rechte Winkel sowie ein paar gleich lange Seiten hat, ist es ein Quadrat.
Zusatzaufgabe:[br]Berechne den Flächeninhalt des Quadrates [i]EFGH [/i]für |AB|=8cm und |BC|=5cm .
Lösung:[br]Der Flächeninhalt vom Quadrat [i]EFGH [/i]beträgt 4,5cm.
Rückblick: Wir haben gezeigt, dass das Viereck [i]EFGH[/i], welches aus den Schnittpunkten der Winkelhalbierenden im Rechteck [i]ABCD [/i]besteht, ein Quadrat ist. [br]Mache dir klar, welche Schritte dabei für dich wichtig waren und was du beim Bearbeiten dieser Aufgabe mitgenommen hast.