Triángulos
a) Construye un triángulo de vértices [i]A[/i], [i]B[/i] y [i]C[/i] utilizando la herramienta [icon]/images/ggb/toolbar/mode_polygon.png[/icon][br]b) Etiqueta los lados[i] a[/i],[i] b[/i] y [i]c[/i]; que se oponen a[i] A[/i], [i]B[/i] y [i]C[/i] respectivamente.[br]c) Mide los ángulos interiores [math]\alpha[/math], [math]\beta[/math] y [math]\gamma[/math] de vértices [i]A, B[/i] y [i]C[/i] respectivamente.[br]d) En la barra de entrada escribe: [i]S[/i]=[math]\alpha[/math]+[math]\beta[/math]+[math]\gamma[/math][br]e) Utilizando [icon]/images/ggb/toolbar/mode_text.png[/icon] presenta en pantalla el valor de [i]S[/i] obtenido.[br]f) Con [icon]/images/ggb/toolbar/mode_move.png[/icon] mueve uno de los vértices y observa qué [i]S[/i] permanece constante.
Mira el video y [b]realiza tú mismo[/b] el plegado para comprobar que la suma de todos los ángulos interiores de un triángulo es 180º.
La suma de los ángulos interiores del triángulo es igual a _______ grados sexagesimales, ______ grados centesimales y [math]\pi[/math] radianes.
Un triángulo con tres lados iguales se denomina ______.
En todo triángulo, a lados iguales se oponen ______ también iguales.
Los ángulos de un triángulo equilátero miden ______.
Si uno de los ángulos de un triángulo isósceles mide 30º, entonces los otros dos ángulos miden:
Tres segmentos tienen en cada caso las medidas que se expresan.[br]¿En qué casos es posible construir triángulos cuyos lados tengan esas medidas?
En todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante.[br][br][img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/83/Desigualdad_del_tri%C3%A1ngulo.svg/200px-Desigualdad_del_tri%C3%A1ngulo.svg.png[/img]
Observa en la siguiente animación como para algunos valores de [i]a[/i], [i]b[/i] y [i]c[/i] es posible construir el triángulo y para otros no. ¿Podrías reproducir este applet Geogebra?
a. Usando [icon]/images/ggb/toolbar/mode_polygon.png[/icon]traza un triángulo ABC.[br]b. Utiliza [icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle3.png[/icon] para trazar una circunferencia que pase por A, B y C. ¿Cómo determinas el centro de dicha circunferencia?[br][br][u][i]Definiciones:[/i][/u] En geometría, la [b]circunferencia circunscrita[/b] es la circunferencia que pasa por todos los vértices de una figura plana y contiene completamente a dicha figura en su interior. El centro de la circunferencia circunscrita se llama [b]circuncentro[/b] y su radio [b]circunradio[/b].[br][br]c. Verifica que el circuncentro del triángulo ABC se obtiene al intersecar las mediatrices de sus lados. ¿Cómo lo podrías demostrar?
Modifica el triángulo arrastrando uno de sus vértices e investiga:[br]a) ¿qué condición debe cumplirse para que el circuncentro sea exterior al triángulo?[br]b) ¿qué condición debe cumplirse para que el circuncentro pertenezca a uno de los lados del triángulo?[br]c) ¿podría el circuncentro coincidir con un vértice?¿Por qué?[br]Anota tus conclusiones.
a) Que el triángulo sea obtusángulo.[br]b) Que el triángulo sea rectángulo.[br]c) No. El circuncentro debe equidistar de los tres vértices. En ese caso la distancia a los tres vértices debería ser 0 y no habría triángulo.
[i][u]Definición[/u][/i][br]Una [b]circunferencia inscrita[/b] en un triángulo es aquella que, siendo interior, es tangente a todos sus lados.
a) Construye un [i]triángulo [/i]ABC.[br]b) Traza el [i]circuncentro [/i]y la [i]circunferencia circunscrita [color=#0000ff](en color rojo)[/color][/i]. [br][color=#0000ff]Oculta las figuras auxiliares que hayas utilizado[/color]. [icon]/images/ggb/toolbar/mode_showhideobject.png[/icon][br]c) Sabiendo que el [i]incentro [/i]se obtiene mediante la intersección de las [i]bisectrices [/i]de los ángulos interiores del triángulo. Traza la circunferencia inscrita en el triángulo [i][color=#0000ff](en color verde)[/color][/i].[br][color=#0000ff]Oculta las figuras auxiliares que hayas utilizado[/color]. [icon]/images/ggb/toolbar/mode_showhideobject.png[/icon]
Usando la construcción anterior investiga:[br][br]¿Podrías hacer coincidir Circuncentro e Incentro?[br]¿En qué triángulos?[br]¿Por qué?[br][br][i]Anota a continuación tus conclusiones. [/i]
Las [b]medianas [/b]de un triángulo son, cada uno de los tres [u]segmentos [/u]que unen cada vértice con el punto medio de su lado opuesto.[br][br]El punto de intersección G de las medianas de un triángulo se llama [b]Baricentro [/b]del triángulo.
En la construcción anterior sean M[sub]A[/sub], M[sub]B[/sub] y M[sub]C[/sub] los puntos medios de los lados del triángulo, que se oponen a los vértices A, B y C respectivamente.[br]a) Determina el punto G, baricentro del triángulo.[br]b) G divide cada mediana en dos segmentos.[br][br][i]¿Qué relación existe entre las medidas de esos segmentos?[/i]
Uno de ellos (el que tiene extremo en un vértice) es el doble del otro (el que tiene extremo en el punto medio).
[b]A[/b] y [b]B[/b] son vértices del triángulo [b]ABC[/b] y [b]G[/b] es su baricentro.[br]Determina el vértice restante [b]C[/b] y construye el triángulo.[br][br][color=#a2c4c9][i][u]Sugerencia:[/u][/i] Dibuja en el cuaderno una figura de análisis, o sea, una representación del problema como si estuviera resuelto, relacionando las partes conocidas del problema (A, B y G) con otras que podamos construir.[/color]
Un segmento cuyos extremos son puntos medios de los lados de un triángulo se denomina [b]Paralela Media[/b] del triángulo.[br][br][color=#a2c4c9][u]Nota:[/u] En el video (minuto 14:00) el presentador llama [i]medianas [/i]a las [i]paralelas medias[/i].[/color]
Traza las paralelas medias del triángulo.[br]Mide sus longitudes y compara con las longitudes de los lados correspondientes.
[i]Completa:[/i][br]La paralela media de un triángulo es un segmento ______ a uno de los lados y mide ______ ______ del mismo.
La paralela media de un triángulo es un segmento [b][u][color=#0000ff]paralelo[/color][/u][/b] a uno de los lados y mide [b][u][color=#0000ff]la mitad[/color][/u][/b] del mismo.
La [b]altura[/b] de un triángulo respecto de un lado es el segmento perpendicular a dicho lado (o a su prolongación) y que pasa por el vértice opuesto.[br][br][color=#a2c4c9][i][u]Observaciones:[/u][/i][br][br]- Por extensión, también se llama altura a la longitud de dicho segmento.[br][br]- La intersección de la altura y la recta que contiene el lado opuesto se denomina «pie» de la altura.[br][br]- Usualmente se utiliza la letra "h" para designar una altura. Por ejemplo, h[sub]A[/sub] es la altura correspondiente al vértice A.[br][br]- La nomenclatura proviene de la palabra inglesa "height" que significa altura.[/color]
Traza las alturas restantes h[sub]A[/sub] y h[sub]B[/sub].
Se denomina [b]ortocentro [/b]al punto donde se cortan las rectas que contienen las alturas de un triángulo.[br][br][color=#a2c4c9][i][u]Observaciones:[/u][/i][br][br]- El nombre deriva del término griego [i]orto[/i], que quiere decir recto, en referencia al ángulo formado entre los lados y las alturas.[br][br]- Usualmente se utiliza la letra "H" para designar al ortocentro.[/color]
Determina el ortocentro H en el triángulo de la construcción anterior.[br][br][i]Investiga y completa:[/i][br][br]El ortocentro se encuentra en el interior del triángulo si éste es ______; coincide con el vértice del ángulo recto si es ______, y se halla en el exterior del triángulo si es ______.
El ortocentro se encuentra en el interior del triángulo si éste es [b][color=#0000ff][u]acutángulo[/u][/color][/b]; coincide con el vértice del ángulo recto si es [b][color=#0000ff][u]rectángulo[/u][/color][/b], y se halla en el exterior del triángulo si es [b][color=#0000ff][u]obtusángulo[/u][/color][/b].
[i][justify]"El ortocentro se obtiene mediante la intersección de las alturas del triángulo"[br][br][/justify][/i]¿Cuál es el error en la afirmación anterior?
Puede no existir intersección de las alturas (triángulo obtusángulo). Lo correcto es referirse a la intersección de las rectas que contienen a las alturas.
Dado un triángulo no rectángulo, el [b]triángulo órtico[/b] respecto del dado, es el que tiene por vértices los pies de las tres alturas de éste.
[i]Investiga y completa:[/i][br][br]El ortocentro de un triángulo es el ______ de su triángulo órtico.
Tres de los puntos notables (baricentro, incentro, ortocentro, circuncentro) de un triángulo no equilátero están siempre alineados en una recta llamada [b]Recta de Euler.[br][br][/b][size=85][color=#a2c4c9][u]Nota[/u]:[br]Se denomina así en honor al matemático suizo, Leonhard Euler, quien demostró la colinealidad de los mencionados puntos notables de un triángulo, en 1765.[br][/color][/size][br]¿Cuál es el punto notable que no siempre está alineado con los demás?[br]
Ortocentro, Incentro, Baricentro y Circuncentro, están en la Recta de Euler si el triángulo es:
Los puntos medios de los lados, los pies de las alturas y los puntos medios de los segmentos que unen los vértices con el ortocentro del triángulo pertenecen a una misma circunferencia llamada[b] circunferencia de los nueve puntos.[/b]
Determina los nueve puntos y traza dicha circunferencia usando [icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle3.png[/icon].[br][color=#0000ff](Oculta los demás objetos que hayas trazado)[/color]