Differentialrechnung
Table of Contents
- Differenzen- und Differentialquotient
- Differenzen- und Differentialquotient
- Differentialquotient - CAS
- Lupe und Tangente
- Folgenkriterium
- Grafisches Ableiten
- Grafisches Ableiten
- Ableitungsfunktion
- Ableitung elementarer Funktionen
- Ableitungsfunktion
- Weg-Zeit-Diagramm
- Wichtige Sätze
- Satz von Rolle
- Mittelwertsatz der Differentialrechnung
- Extremwertaufgaben
- Minimaler Flächeninhalt eines Parallelogramms
- Saftbox
- Dose mit minimaler Oberfläche
- Kegel mit eingeschriebenem Zylinder
- Kegel mit eingeschriebenem Zylinder - Teil 2
- Kegel mit eingeschriebenem Prisma
- Anwendungen
- Das Newtonsche Näherungsverfahren
- Taylorpolynome
- Polynomfunktion berechnen 1
- Polynomfunktion berechnen 2
- Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung
- Skischanze
- Anwendungen im R³
- Tangentialebene an eine Fläche
- Tangentialebene an eine Fläche (Animation)
- Richtungsableitung
- Differentialgleichungen
- Richtungsfeld für y' = k·y
- Richtungsfeld
- Richtungsfeld (Version 2)
- Laden eines Kondensators
Differenzen- und Differentialquotient
[b]Definition[/b][br]Sei f eine Funktion [math]f: \, ]a; b[ \rightarrow\mathbb{R}[/math].[br]Dann heißt [b]f[/b] an einer Stelle [math]x_0\in]a; b[[/math] [b]differenzierbar[/b], wenn der Grenzwert [br] [math] \lim_{h\to 0} \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h} \qquad[br]\left(= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f\left(x_0+ \Delta x \right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x} = [br]\lim_{x \to x_0} \frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}\right)[/math][br]existiert.[br][br]In dem Applet ist der Graph der Funktion f: R → R; f(x) = 0,1·x² + 1 dargestellt.[br][br][b]Aufgabe[/b][br][list][*]Verändere mithilfe des Schiebereglers für Δx den Abstand zwischen den Punkten A und B.[/*][*]Notiere für Δx = 3,5 ; 3,0 ; 2,5; 2,0; 1,5; 1,2 und 1,1 die Steigung k der Sekanten durch die Punkte A und B. [br][/*][*]Welche Steigung k der Tangente im Punkt A lässt sich als Grenzwert der Sekantensteigungen vermuten?[/*][*]Führe dieselbe Aufgabe für die Funktion f(x) = 0.1·x² durch.[/*][/list]
Multiple Choice Fragen
Kreuze die richtige(n) Aussage(n) an.
Grafisches Ableiten
Der Wert k zeigt die Steigung der Tangente im Punkt P an.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Spielen Sie die Animation ab.[br]Geben Sie eine andere Funktion im Eingabefeld ein.
Ableitung elementarer Funktionen
Im oberen Grafikfenster wird eine Funktion vorgegeben, deren Ableitung zu bestimmen ist.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Gib in das Eingabefeld den Funktionsterm der Ableitungsfunktion ein.[br]Falls deine Antwort nicht korrekt ist, kannst du die richtige Lösung anzeigen lassen.[br]Übe an einigen weiteren Funktionen des Berechnung der Ableitung.
Satz von Rolle
[b]Satz von Rolle[/b][br]Sei f eine stetige Funktion in [a; b] und differenzierbar in ]a; b[ . Weiters sei f(a) = f(b).[br]Dann gibt es mindestens eine Stelle ξ in ]a; b[ mit [math]f'(\xi) = 0 [/math][br][br]Der Satz von Rolle ist ein [b]Spezialfall [/b]des [b]Mittelwertssatzes der Differentialrechnung[/b].[br][br][b]Geometrische Interpretation[/b][br]Es gibt mindestens ein ξ aus ]a; b[ , sodass die Tangente an der Stelle ξ parallel zur x-Achse ist.[br]Die Stelle ξ ist im allgemeinen nicht der Mittelwert von a und b. [br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verändere die Intervallgrenzen a und b so, dass eine zweite Stelle für ξ angezeigt wird.
Andreas Lindner
Minimaler Flächeninhalt eines Parallelogramms
Dem Rechteck ABCD mit der Länge 14 und der Breite 8 ist das Parallelogramm EFGH in der dargestellten Form eingeschrieben.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]a) Finde durch Verschieben des Punktes E näherungsweise jene Länge x, für die der Flächeninhalt des Parallelogramms möglichst klein ist.[br]b) Berechne anschließend die Länge der Strecke x, für die der Flächeninhalt des Parallelogramms möglichst klein ist.[br][br][b]Lösungsvorschlag[/b]:
Minimaler Flächeninhalt eines Parallelogramms
Andreas Lindner
Das Newtonsche Näherungsverfahren
In diesem Applet wird das Newton'sche Näherungsverfahren geometrisch veranschaulicht.[br]Spiele die einzelnen Schritte über die Navigationsleiste ab und beschreibe den dargestellten Vorgang mit eigenen Worten.[br]Verändere die Position des Startwert [math]x_{1}[/math]. Wo muss der Startwert liegen, damit die linke Nullstelle angenähert wird?[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Berechne die Nullstelle der Sinusfunktion im Intervall [6; 7].[br]Zoome (Strg-Scrollrad oder Rechte Maustaste ziehen) auf den interessierenden Bereich.[br]Welcher Startwert ist für diese Berechnung ungeeignet? Begründe deine Entscheidung.
[b]Mögliche Aufgabenstellung [/b][br]Gesucht sind die Nullstellen der Funktion f mit [math]f(x) = x^2 + e^x - 2[/math].[list][*]Beschreibe das Näherungsverfahren nach Newton und berechne den ersten Wert der Iteration für die Nullstelle im Intervall [0; 1]. Beginne mit dem Startwert [math]x_1 = 1,5[/math].[/*][*]Berechne mit einem elektronischen Tool weitere Iterationswerte und eine Näherungslösung auf 3 Dezimalen genau (Reproduktion).[/*][*]Leite die Iterationsformel an Hand einer Skizze her.[/*][*]Welche Startwerte darf man beim Newton’schen Näherungsverfahren prinzipiell nicht wählen und warum nicht? (Reflexion)[/*][*]Würdest du die Gleichung x² + 6x = 4 auch mit dem Newton’schen Näherungsverfahren lösen? Wäre es prinzipiell möglich? (Reflexion)[/*][*]Warum kann man mit diesem Verfahren für die Funktion f mit [math]f(x)=\sqrt(x)[/math] die Nullstelle für x = 0 nicht finden, wenn der Startwert [math]x_1 = 2[/math] ist? (Transformation, Reflexion)[/*][/list]
Tangentialebene an eine Fläche
Im Punkt P wird die Tangentialebene an die Fläche gelegt.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Bewege den blauen [color=#0000ff][b]Punkt P[/b][/color] (in der xy-Ebene) und beobachte die Veränderung der Tangenten in x- und y-Richtung.[br]Betrachte die Fläche und die Tangenten im Grund-, Auf- und Kreuzriss.[br][br]Untersuche andere Funktionen hinsichtlich ihrer Tangenten in x- und y-Richtung, [br][i]Beispiele[/i]: [br]f(x,y) = x*y[br]f(x,y) = sin(x+y)[br]f(x,y) = sin(x) sin(y)
Andreas Lindner
Richtungsfeld für y' = k·y
Das Applet zeigt das Richtungsfeld für die Differentialgleichung y' = k·y.[br]Dabei können die Grenzen des Richtungsfelds, der Faktor k, die Anzahl und die Länge der Linienelemente variiert werden.[br]Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung lautet [math]y = c·e ^{k·x}[/math].[br]Eine spezielle Lösung, die durch den Punkt P geht, ist eingezeichnet.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verändere mit den Schiebereglern die Werte für k, n und a.[br]Verschiebe den Punkt P und beobachte die Auswirkungen.