Die [i][b]CASSINI[/b][/i]-Quartiken [math]\left|z-1\right|^2\cdot\left|z+1\right|^2=\rho^2[/math] entstehen aus den konzentrischen Kreisen [math]\left|w-1\right|^2=\rho^2[/math] als Bild unter der Wurzelfunktion [math]z=\sqrt{w}[/math]. Je nach Lage des Urbild-Kreises entstehen 2-teilige, 1-teilige Quartiken oder die [i][b]BERNOULLI[/b][/i]-Lemniskate. Für diese Quartiken sind [math]+1[/math], [math]-1[/math] Brennpunkte, jedoch sind sie nicht konfokal, da die anderen beiden Brennpunkte für verschiedene dieser Quartiken verschieden sind.[br][list][*]Die Kreise durch zwei Punktepaare [math]P_1',P_1''=-P_1'[/math] und [math]P_2',P_2''=-P_2'[/math] schneiden sich in den Punkten [math]Q'[/math] auf der Quartik unter konstantem Winkel.[br][/*][/list]Bewegen Sie dazu den Kreis und die Gerade durch [math]P_1[/math]. [math]P_2[/math] und [math]Q[/math] sind dann bewegliche Punkte auf dem Kreis durch [math]P_1[/math].[br]Betrachtet man die rechte Halbebene [math]x>0[/math] als [i][b]hyperbolische Ebene[/b][/i], und wählt man [math]P_1[/math] und [math]P_2[/math] auf der [math]x[/math]-Achse so, dass der Kreis die [math]y[/math]-Achse nicht schneidet, dann ist die entstehende [i][b]CASSINI[/b][/i]-Kurve der hyperbolische [i][b]THALES[/b][/i]kreis-Ersatz! Hyperbolische Geraden sind Kreise, die orthogonal zum absoluten Kreis sind, hier also die zur [math]y[/math]-Achse senkrechten Kreise. Die "Geraden" durch [math]P_1'[/math] und [math]P_2'[/math] schneiden sich auf der [i][b]Cassini[/b][/i]-Quartik orthogonal! [br]Man kann zeigen, dass auch die hyperbolischen Fasskreis-Bögen [i][b]CASSINI[/b][/i]-Quartiken sind.[br]Ähnliches gilt in der elliptischen Ebene.[br][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size]