Differentialregning

mrsherman701, cals_1, Dec 17, 2014

Table of Contents

  1. Introducerende eksempel - optimering af dåse
    1. Dåsematematik
  2. Tangent og sekant
    1. Sekant - tangent
    2. Tangent og sekant i x0
    3. Vis tangent og sekant i xo
    4. Differenskvotient
  3. Tangent og sekant i et bestemt punkt
    1. f'(2) = 4
    2. Gæt en formel for en tangenthældning
  4. Praktisk differentiation
    1. Differentiation af potensfunktioner
  5. Klikbeviser differentialkvotienter simple funktioner
    1. Differentialkvotient af x i anden
    2. Differentialkvotient af lineær funktion
    3. Differentiation af kvadratrodsfunktion
    4. Differentialkvotient x i tredie
    5. Differentialkvotient af 1/x
  6. Regneregler for differentialkvotienter
    1. En et eksempel på en sum af to funktioner
    2. Illustration af sum af to funktioner
    3. Illustration af differens af to funktioner
    4. Illustration konstant gange en funktion
    5. Differentiation af sum
    6. Differentiation af differens
    7. Differentiation af konstant gange funktion
  7. Monotoniforhold
    1. Monotoniforhold og tangenthældninger
    2. Monotoniforhold for et trediegradspolynomium
  8. Fortolkning af differentialkvotient (kaffeafkøling)
    1. Fortolkning af differentialkvotienter
  9. Tangentligninger
    1. Beregning af tangentligning

1.

Introducerende eksempel - optimering af dåse

  • 1. Dåsematematik

1.1.

Dåsematematik

En cylinderformet øldåse rummer 1/2 liter øl. Find ud af hvilken radius øldåsen skal have for at materialeforbruget, dvs overfladearealet af dåsen, er mindst muligt. Du kan variere radius (i cm) på skyderen.
– cals_1

2.

Tangent og sekant

  • 1. Sekant - tangent
  • 2. Tangent og sekant i x0
  • 3. Vis tangent og sekant i xo
  • 4. Differenskvotient

2.1.

Sekant - tangent

Den blå linje kaldes for sekanten og den mørkelilla linje er tangenten til grafen. Brug skyderen til at ændre på h. Hvad er h? Hvad sker der med sekanten, når h nærmer sig 0?
– cals_1

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

3.

Tangent og sekant i et bestemt punkt

  • 1. f'(2) = 4
  • 2. Gæt en formel for en tangenthældning

3.1.

f'(2) = 4

Brug skyderen til at lade h komme tættere og tættere på 0. Læg mærke til hvad der sker med 1) de to punkter 2) tangenten (sæt flueben) 3) sekanten. Hvad er tangentens hældning i x=2?
– cals_1

3.2.

–

4.

Praktisk differentiation

  • 1. Differentiation af potensfunktioner

4.1.

Differentiation af potensfunktioner

Du kan variere værdierne af a i forskriften for en potensfunktion [math] f(x) = b \cdot x^a[/math] og du kan se, hvad differentialkvotienten bliver. Kan du se et system? Kan du bestemme en formel. Vink: Når [math]f(x) = x^a [/math], hvordan skal f'(x) så se ud?
– cals_1

5.

Klikbeviser differentialkvotienter simple funktioner

  • 1. Differentialkvotient af x i anden
  • 2. Differentialkvotient af lineær funktion
  • 3. Differentiation af kvadratrodsfunktion
  • 4. Differentialkvotient x i tredie
  • 5. Differentialkvotient af 1/x

5.1.

Differentialkvotient af x i anden

Bevis for differentialkvotienten for [math]f(x) = x^2[/math], dvs at [math](x_0^2)' = 2x_0 [/math]
– cals_1

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

5.5.

–

6.

Regneregler for differentialkvotienter

  • 1. En et eksempel på en sum af to funktioner
  • 2. Illustration af sum af to funktioner
  • 3. Illustration af differens af to funktioner
  • 4. Illustration konstant gange en funktion
  • 5. Differentiation af sum
  • 6. Differentiation af differens
  • 7. Differentiation af konstant gange funktion

6.1.

En et eksempel på en sum af to funktioner

En musiklærer tjener penge på to måder: Jobbet på musikskolen indbringer 20.000 kr om måneden og privatundervisning giver 200 kr i timen. Skriv et funktionsudtryk op for hver af de to indtægter. Skriv et funktionsudtryk for musiklærerens samlede indtægt. Funktionsudtrykket for den samlede indtægt er en sum af de to andre funktioner og er altså et eksempel på, hvad det vil sige, at man har en sum af to funktioner.
– cals_1

6.2.

–

6.3.

–

6.4.

–

6.5.

–

6.6.

–

6.7.

–

7.

Monotoniforhold

  • 1. Monotoniforhold og tangenthældninger
  • 2. Monotoniforhold for et trediegradspolynomium

7.1.

Monotoniforhold og tangenthældninger

Du kan flytte det punkt tangenten rører grafen i. Find ud af hvilken sammenhæng der er mellem tangenthældningen og hvornår grafen er voksende og aftagende og hvad der sker med tangenthældningen, når grafen har et maksimum eller et minimum
– cals_1

7.2.

–

8.

Fortolkning af differentialkvotient (kaffeafkøling)

  • 1. Fortolkning af differentialkvotienter

8.1.

Fortolkning af differentialkvotienter

1. Hvad er tangenthældningen til tiden 0? 2. Bestem og fortolk [math] f'(0) [/math] 3. Bestem og fortolk f(0) 4. Bestem [math]f'(5), f'(10), f'(15), f'(20) [/math] og kommentér
– cals_1

9.

Tangentligninger

  • 1. Beregning af tangentligning

9.1.

Beregning af tangentligning

Klik dig gennem en gennemgang af hvordan man beregner en tangentligning. Du kan få et nyt eksempel ved at vælge ''ny opgave''.
– cals_1

Information