Der Logarithmus einer Zahl ist definiert als Lösung einer Exponentialgleichung:[br][math]q^x=y\text{ }\Leftrightarrow\text{ }x=\log_q\left(y\right)[/math][br]Sprich: "[i]x[/i] ist der [b]Logarithmus von [i]y[/i] zur Basis [i]q[/i][/b]." [br][br]Den Logarithmus zur Basis 10 bezeichnet man als [b]dekadischen [/b]Logarithmus: [math]\log_{10}\left(t\right)=:\lg\left(t\right)[/math][br]Der Logarithmus zur Basis [i]e[/i] (Eulersche Zahl) heißt [b]natürlicher[/b] Logarithmus: [math]\log_e\left(z\right)=:\ln\left(z\right)[/math][br]Den Logarithmus zur Basis 2 kürzt man manchmal mit [math]\log_2\left(r\right)=\text{lb}\left(r\right)[/math] ab.[br]
[math]3^x=81\text{ }\Leftrightarrow\text{ }x=\log_3\left(81\right)=4[/math][br]Gesucht ist die Zahl, mit der man 3 potenzieren muss, um 81 zu erhalten.[br]Der gesuchte Exponent ist 4 (was man auch durch Probieren herausbekommen würde); also ist 4 der Logarithmus von 81 zur Basis 3.[br][br][math]10^x=82000000\text{ }\Leftrightarrow\text{ }x=\log_{10}\left(82000000\right)\approx7,9138[/math][br]Der dekadische Logarithmus der Bevölkerungszahl Deutschlands ist ca. 7,91. Die Bevölkerungszahl kann man hieraus wieder rekonstruieren, indem man die Potenz mit Basis 10 und Exponent 7,91 berechnet.[br][math]10^{7,9138}\approx82000000[/math]
Welche Berechnungen sind richtig?
Logarithmus-Funktionen sind definiert als:[br][math]f\left(x\right)=\log_q\left(x\right)[/math] mit [math]q>0[/math]
Warum ist die Definitionsmenge [math]D=\mathbb{R}_+^{\ast}[/math]?
Der Logarithmus ist definiert als Lösung einer Exponentialgleichung:[br][math]y=\log_q\left(x\right)\text{ }\Leftrightarrow\text{ }q^y=x[/math][br]Ist die Basis [i]q[/i] positiv (siehe Definition), so muss [math]q^y[/math] auch positiv sein. Folglich sind nur positive [i]x[/i] möglich.
Wiederholung: Den Graphen der Umkehrzuordnung erhält man, in dem man den ursprünglichen Graphen an der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten (d.h. an der Geraden mit Gleichung [i]y[/i]=[i]x[/i]) spiegelt.[br][br]Welche Funktion ist die Umkehrfunktion von [i]f[/i] mit [math]f\left(x\right)=\log_q\left(x\right)[/math]? Testen Sie Ihre Vermutung mit obigem Applet.[br][br]Wie beweist man diese Erkenntnis algebraisch?
Der Graph der Umkehrzuordnung von [i]f[/i] ist der Graph der Exponentialfunktion [math]\overline{f}[/math] mit[br][math]\overline{f}\left(x\right)=q^x[/math][br][br]Grafische Begründung:[br]Wird obiger Graph an der Winkelhalbierenden gespiegelt, erhält man den Graphen einer Exponentialfunktion.[br][br]Algebraische Begründung:[br][math]f:\text{ }y=\log_q\left(x\right)[/math] | Vertauschen von [i]x[/i] und [i]y[br][math]\overline{f}:\text{ }x=\log_q\left(y\right)[/math][/i] | Definition des Logarithmus[br][math]\overline{f}:\text{ }y=q^x[/math]
Durch sogenannte Äquivalenzumformungen ändert sich die Lösungsmenge einer Gleichung nicht.[br][br]Beispiele sind:[br][list][*]auf beiden Seiten eine Zahl [b]addieren [/b]oder [b]subtrahieren[/b][/*][*]beide Seiten mit einer Zahl [b]multiplizieren [/b]oder durch eine Zahl [b]dividieren[/b][/*][*]den [b]Kehrwert [/b]beider Seiten bilden, sofern zuvor gezeigt werden kann, dass beide Seiten nicht Null werden können.[br][/*][/list][br]Sofern beide Seiten positiv sind, kann man noch:[list][*]beide Seiten [b]quadrieren[/b]: [math]7=\sqrt{3x}\text{ }\Leftrightarrow\text{ }49=3x[/math][/*][*]aus beiden Seiten die [b]Wurzel [/b]ziehen (Vorsicht: plus-minus!): [math]7=x^2\text{ }\Leftrightarrow\text{ }\pm\sqrt{7}=x[/math][br][/*][*]generell: beide Seiten mit einer Zahl ungleich Null [b]potenzieren[/b]: [math]x^{\frac{5}{3}}=7\text{ }\Leftrightarrow\text{ }x=7^{\frac{3}{5}}[/math][/*][/list][br]Neu kommt zum einen hinzu, dass man den [b]Logarithmus [/b]von beiden Seiten ziehen darf, sofern sie stets positiv sind.[br][u]Beispiel[/u]: [math]7=3x\text{ }\Leftrightarrow\text{ }\ln\left(7\right)=\ln\left(3x\right)[/math][br][br]Zum anderen kann man beide Seiten als [b]Exponenten [/b]einer gemeinsamen Basis auffassen.[br][u]Beispiel[/u]: [math]7=3x\text{ }\Leftrightarrow\text{ }5^7=5^{3x}[/math]
Die beiden Identitäten [math]\log_b\left(b^r\right)=r[/math] und [math]b^{\log_b\left(r\right)}=r[/math] bedeuten, dass Exponentiale und Logarithmen sich "gegenseitig aufheben", ähnlich wie Plus und Minus, Mal und Geteilt, etc.[br][br]Beweisen Sie folgende Logarithmusgesetze mit Hilfe der obigen Äquivalenzumformungen sowie der beiden Identitäten:[br][math]\log_c\left(a\right)+\log_c\left(b\right)=\log_c\left(a\cdot b\right)[/math][br][math]\log_c\left(a\right)-\log_c\left(b\right)=\log_c\left(\frac{a}{b}\right)[/math][br][math]\log_c\left(a^r\right)=r\cdot\log_c\left(a\right)[/math]
Erstes Gesetz:[br][math]\log_c\left(a\right)+\log_c\left(b\right)=\log_c\left(a\cdot b\right)\text{ }\Leftrightarrow\text{ }c^{\log_c\left(a\right)+\log_c\left(b\right)}=c^{\log_c\left(a\cdot b\right)}\text{ }\Leftrightarrow\text{ }c^{\log_c\left(a\right)}\cdot c^{\log_c\left(a\right)}=c^{\log_c\left(a\cdot b\right)}[/math][br][math]\text{ }\Leftrightarrow\text{ }a\cdot b=a\cdot b[/math] (wahre Aussage, d.h. Gesetz bewiesen)[br][br]Zweites Gesetz analog:[br][math]\log_c\left(a\right)-\log_c\left(b\right)=\log_c\left(\frac{a}{b}\right)\text{ }\Leftrightarrow\text{ }c^{\log_c\left(a\right)-\log_c\left(b\right)}=c^{\log_c\left(\frac{a}{b}\right)}\text{ }\Leftrightarrow\text{ }c^{\log_c\left(a\right)}:c^{\log_c\left(a\right)}=c^{\log_c\left(\frac{a}{b}\right)}[/math][br][math]\text{ }\Leftrightarrow\text{ }\frac{a}{b}=\frac{a}{b}[/math] (wahre Aussage, d.h. Gesetz bewiesen)[br][br]Drittes Gesetz:[br][math]\log_c\left(a^r\right)=r\cdot\log_c\left(a\right)\text{ }\Leftrightarrow\text{ }c^{\log_c\left(a^r\right)}=c^{r\cdot\log_c\left(a\right)}\text{ }\Leftrightarrow\text{ }a^r=\left(c^{\log_c\left(a\right)}\right)^r\text{ }\Leftrightarrow\text{ }a^r=a^r[/math][br](wahre Aussage, d.h. Gesetz bewiesen)
Überprüfen Sie, ob folgende Termumformungen zulässig sind.