Lugares geométricos 5

En la construcción que se describe (Figura 1) se ha trazado una circunferencia de radio 5 y con centro C,[br]se han trazado también un punto P sobre la circunferencia, la recta CP y un punto A cualquiera en el interior de la circunferencia. Posteriormente se trazó la mediatriz al segmento PA, que interseca en M al segmento PA y en B a la recta CP.[br][br]

Figura 1

1. Al arrastrar el punto P, algunas cantidades (medidas de segmentos y de ángulos, áreas y perímetros de figuras, etc) cambian y otras no. El applet correspondiente a la Figura 1, se presenta a continuación,[br]siga las instrucciones siguientes y responda las preguntas que se formulan:[br][br][br]

Applet 1

a) Arrastre el punto P sobre la circunferencia y haga una lista con las cantidades que permanecen constantes durante este movimiento.[br][br]

b) Identifique aquellas cantidades que varían al arrastrar P y haga otra lista con ellas. [br][br]

c) De las cantidades de la lista anterior, identifique aquellas que aunque varían al arrastrar P, permanecen iguales entre sí.[br][br]

d) Al arrastrar el punto P, ¿la cantidad CB + BA varía o permanece constante? Justifique su afirmación. [br][br]

e) Utilice la herramienta “Lugar geométrico” para obtener la curva que describe el punto B, cuando el punto P se mueve sobre la circunferencia. ¿A qué curva corresponde el lugar geométrico obtenido?[br]Ofrezca una explicación geométrica de su respuesta. [br][br]

f) ¿Qué relación tienen ahora los puntos A y C con la nueva curva obtenida? Justifique su respuesta.[br][br]

a) ¿En qué curva se transformó su lugar geométrico? Ofrezca una explicación geométrica de su respuesta. [br][br]

b) P. ¿Qué relación tienen ahora los puntos A y C con la nueva curva trazada? Justifique su respuesta.[br][br]

2. T. Para buscar la ecuación que describe a esta curva iremos directamente al plano cartesiano, para ello hemos colocado la construcción como se muestra en el Applet 2 y trabajaremos ahora específicamente[br]con este applet.[br][br]

Applet 2

Observe que los puntos C y A permanecerán fijos y sus coordenadas C(-2,0) y A (2,0) permanecerán fijas. En cambio los puntos B, P y M se moverán cuando P recorra la circunferencia. En particular asignaremos al punto B que trazará la curva, las coordenadas (x,y).[br][br]

a) Cuando el punto P se mueva, las distancias CB y AB cambiarán, pero la suma CB+AB permanecerá constante e igual a 5, como se ha visto antes. Use la fórmula [math]\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}[/math] para expresar[br]las distancias CB y AB en términos de [i]x[/i] y [i]y[/i]. Para que el punto B permanezca sobre la elipse, debe satisfacer la condición: [br][br]CB+AB = 5[br][br]Use las expresiones algebraicas encontradas para expresar la ecuación anterior en términos de [i]x[/i] y [i]y[/i].[br]Luego simplifique la ecuación todo lo que pueda y escriba la versión simplificada[br][br]

b) Descargue el applet 2 y despliegue la vista llamada Cálculo Simbólico (CAS). Capture en el primer renglón de esta vista el comando EcuaciónLugar(B,P) y luego oprima la tecla “enter”, GeoGebra le dará[br]una ecuación del lugar geométrico de la curva. En pantalla la ecuación se mostrará como en la Figura 2.[br][br]

Figura 2

Compare este resultado con la simplificación de la ecuación que obtuvo en el inciso[br]anterior y en su caso comente las diferencias que observa.[br][br][br]

c) En la ecuación [math]36x^2+100y^2=225[/math] haga [i]y[/i]=0 y despeje [i]x[/i] en la ecuación obtenida para calcular las intersecciones de la curva con el eje X. Compare las intesecciones obtenidas con la gráfica que se muestra en el Applet 2 que ha descargado y escriba aquí sus conclusiones[br][br]

d) En el Applet 2 descargado arrastre el punto A, hasta que sus coordenadas sean (4,0). La curva que traza el punto B ahora es una hipérbola. Investigue la definición de hipérbola y escríbala aquí con sus[br]propias palabras.[br][br]

e) De acuerdo con la definición de hipérbola, para que un punto B trace la curva de la figura anterior debe cumplir con la condición siguiente:[br][br] |CB-AB|=5[br][br]lo cual significa que CB-AB=5 o bien que CB-AB=-5, cada una de estas ecuaciones representa una rama de[br]la hipérbola. Al igual que en el caso de la elipse, si queremos obtener la representación algebraica de la hipérbola, podemos usar la fórmula de la distancia entre dos puntos y sustituir las expresiones, por ejemplo en la ecuación:[br][br]CB-AB=5[br][br]Haga las sustituciones y simplifique la ecuación resultante.[br]

f) En el Applet 2 descargado abra la vista llamada “Cálculo simbólico (CAS)”, capture en esta vista la línea de comando “EcuaciónLugar(B,P)” y oprima la tecla “Enter”. CAS mostrará la ecuación del lugar geométrico, tal como puede observarse en la Figura 3.[br][br]

Figura 3

Compare su simplificación con la ecuación del lugar geométrico calculado por GeoGebra, ¿son equivalentes?

g) En la ecuación [math]156x^2-100y^2=975[/math] haga [i]y[/i]=0 y despeje [i]x[/i] en la ecuación obtenida para calcular las intersecciones de la curva con el eje X. Compare las intesecciones obtenidas con la gráfica que muestra el Applet 2, escriba aquí sus conclusiones.[br][br]

h) En la ecuación [math]156x^2-100y^2=975[/math] haga [i]x[/i]=0 y despeje [i]y[/i] en la ecuación obtenida[br]para calcular las intersecciones de la curva con el eje Y. Explique por qué la[br]ecuación [math]-100y^2=975[/math] no tiene soluciones reales y use el Applet 2 para explicar lo que significa gráficamente la inexistencia de soluciones reales para esta ecuación.[br][br]