CAS 4 analytische Geometrie
Mit dieser Dokumentation stelle ich in GeoGebra CAS mögliche Verfahren zur Beschreibung und Darstellung der Objekte der analytischen Geometrie zusammen. Mittels CAS möchte ich die im schriftlichen Bearbeiten von Aufgabenstellungen der analytischen Geometrie üblichen Verfahren anwenden, auch wenn es für deren Lösung einen GeoGebra-Befehl geben sollte. Ich möchte damit die Überprüfung und Visualisierung eines Lösungsweges inklusive aller Zwischenschritte möglich machen. Bei der Umsetzung von mathematischen Sachverhalten für GeoGebraCAS treten Unterschiede in der Schreibweise auf Papier und im Programm auf. Ich baue die Aufgabenblätter so auf, dass sie nach Möglichkeit "durchrechnen": Ein Ergebnis wie x=2 übertrage in die Gleichung x+y+z = 0 mittels Ersetze-Befehl damit bei veränderten Aufgabenparametern ein sich dynamisch anpassendes Aufgabenblatt entsteht. Aufgrund der exzessiven Produktpflege werden immer wieder Funktionalitäten kaputt gepflegt oder verschlimmbessert. Davon betroffen ist z.B. der Befehl [list=1][*] VERSCHIEBE/TRANSLATE: hat eine Zeitlang im CAS funktioniert - dann wieder nicht - dann tut er wieder garnix. LISTEN indexieren, statt umständlich mit ELEMENT() zu hantierten konnte man einfach LISTE(nr) schreiben um Element nr auszulesen - diese Funktionalität scheint nicht gesichert. Es ist allerdings fast unmöglich bestehende Anwendungen umzuschreiben - müssten komplett neu aufgebaut werden... [/list] Funktionen mit unbestimmten Variablen müssen unbedingt mittels "Behalte Eingabe", bzw "Keep Input", eingegeben werden, damit die Abhängigkeiten nicht ausgewertet werden (was wird multiliziert: Skalar oder Vektor), soll erst zur Laufzeit mit konkreten Werten entschieden werden: Beispiel: [math]lsg(a,b,c):=Löse(a x^2+b x +c=0) [/math] [Alt+Eingabe] lsg(1,2,-3) [Strg+Eingabe] Berechne Numerisch GGB6 (ggb App) ist auf Touch-Geräten nur eingeschränkt nutzbar.
Table of Contents
- Darstellen von 3D-Objekten
- Punkte und Vektoren
- Skalarprodukt - Vektorprodukt
- Geraden im CAS
- Ebenen im CAS darstellen
- Normalengleichung - Normalenvektor
- Punktemengen beschreiben
- Flächen Spat Volumen
- Vektoren nach Winkel ausrichten
- VektorAddition
- Matrixfunktion für Drehung um Koordinaten-Achsen xyz
- Geraden
- Geraden Schnittpunkt - Schnittwinkel
- Lot von Punkt auf Gerade
- Abstand windschiefer Geraden
- Abstand Punkt - Gerade
- Spurpunkte einer Geraden
- Gerade durch Punkt schneidet windschiefe Geraden
- Ebenen
- Schnittgerade zweier Ebenen - Koordinatenformen
- Schnittgerade Koordinatenebene + Parameterebene
- Schnittgerade zweier Ebenen - Parameterformen
- Spur einer Koordinaten-Ebene
- Spur einer Parameter-Ebene
- Spiegelung an Ebene
- Gerade triff Ebene
- Ebene Parameterform x Gerade
- Ebene Koordinatenform x Gerade
- Formel Gerade Ebene
- Gerade Ebene Schnittpunkt Schnittwinkel
- Gerade mit Parameter schneidet Ebene
- Kugel Ebene Gerade
- Gerade-Kugel Schnittpunkte Tangenten Pol
- Kugel auf Gerade durch Ursprung
- Tetraeder Basteleien CAS
Punkte und Vektoren
[b]1.1 Punkte - Vektoren[/b][br][br]Mathematisch werden Punkte eines Raumes/Ebene als waagerechtes Tripel angegeben - (Großbuchstaben als Name implizieren Punkt)[br][color=#1155Cc]P:=(1,2,1), [br]Q := (-1, 2, 2) [/color][br]während Vektoren als senkrechtes Tripel geschrieben werden (Kleinbuchstaben als Name implizieren Vektor)[br][table][tr][td][color=#1155Cc]v:=Vektor(P)[/color] oder [br][color=#1155Cc]w:=Vektor((-1,-2,0))[/color]. [/td][td][color=#1155Cc]v:=Vector(P)[/color] oder [br][color=#1155Cc]w:=Vector((-1,-2,0))[/color]. [/td][/tr][/table][br][br]Einen Vektor w an dem Punkt P ansetzen [br][table][tr][td][color=#1155Cc]u:=Verschiebe[ w, P][/color][/td][td][color=#1155Cc]u:=Translate[ w, P][/color].[/td][/tr][/table] [br]Für die Länge desVektors u, Betrag von u = |u| schreibe ich [br][color=#1155Cc]sqrt(u^2)[/color][br]an Stelle des GeoGebra-Befehls Länge[u]. [br][i]Es gibt keine Transponierung von Vektoren. Bei gemischten (Multiplikation,Addition) Operationen von Vektorketten ist Vorsicht angebracht - es braucht oft mal eine Zwangsdeklaration um Vektor oder Punkt zu erzwinden![/i][br][br]Vektor zwischen 2 Punkten[br][br]Der Vektor [b]v_1 von P nach Q[/b] = Vektor[Q - P] eingezeichnet mit[br][table][tr][td][color=#1155Cc]v_1:=Verschiebe(Vektor(Q-P),P)[/color][/td][td][color=#1155Cc]v_1:=Translate(Vector(Q-P),P)[/color][/td][/tr][/table][br][br][color=#444444]Skalarprodukt [color=#1155Cc]u*v[/color][/color], [color=#444444][color=#1155Cc]Dot(u,v)[/color][/color][br][math]{x \left(u \right) \; x \left(v \right) + y \left(u \right) \; y \left(v \right) + z \left(u \right) \; z \left(v \right)}[/math][math]\in R[/math][br][br]Vektor- oder Kreuzprodukt[br][color=#1155Cc]Kreuzprodukt[u, v][/color], [color=#1155Cc]Cross[u, v][/color] [size=85]oder[/size] [color=#1155Cc]u⊗v[/color][br][math]{\left( y\left(u \right) \; z \left(v \right) - z \left(u \right) \; y \left(v \right), z \left(u \right) \; x \left(v \right) - x \left(u \right) \; z \left(v \right), x \left(u \right) \; y \left(v \right) - y \left(u \right) \; x \left(v \right)\right)}[/math][math]\in R^3[/math][math]\bot u,v[/math]
Geraden Schnittpunkt - Schnittwinkel
(1) [math]g:=\vec{x}=\left(\begin{matrix}2\\2\\-3\end{matrix}\right)+t\cdot\left(\begin{matrix}2\\1\\-1\end{matrix}\right)[/math] [br](2) [math]h:=\vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\0\\-1\end{matrix}\right)+t\cdot\left(\begin{matrix}1\\-2\\1\end{matrix}\right)[/math][br][br](3)Berechne den Schnittpunkt S - Geraden gleich setzen g(t)=h(s)[br][br](4)[math]\left(\begin{matrix}2\\2\\-3\end{matrix}\right)+t\cdot\left(\begin{matrix}2\\1\\-1\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix}3\\0\\-1\end{matrix}\right)+s\cdot\left(\begin{matrix}1\\-2\\1\end{matrix}\right) [/math][br][br]Schrittweise Lösung des GLS CAS Zeile 17[br] (5)[math]{\left( \begin{tabular}{r}2 \; t + 2 - s - 3 = 0\\t + 2 + 2 \; s = 0\\ -t - 3 - 2 \; s + 1 = 0\\ \end{tabular} \right)[/math] ... [math]{\left( \begin{tabular}{r}2 \; t - s - 1 = 0\\t + 2 \; s + 2 = 0\\ -t - 2 \; s - 2 = 0\\ \end{tabular} \right)[/math] <=> [math]\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}[/math][br](5) Die Gleichungen y,z sind linear abhängig z=-y, berechne [br](5) x+2*z => [math]- 5 s - 5 = 0 ... s = -1 [/math][br](5) s in x =>[math] 2t - (-1) - 1 = 0 ... t = 0 [/math][br][br](6) setze t in g(t) ein [math]g:=\vec{x}=\left(\begin{matrix}2\\2\\-3\end{matrix}\right)+0\cdot\left(\begin{matrix}2\\1\\-1\end{matrix}\right)[/math][br](7) [math]S=\left(2,2,-3\right)[/math][br]...[br](12) Winkelberechnung über Skalarprodukt[br] [math]{r_1 \cdot r_2} = {\left|r_1\right| \; \left|r_2\right|} \cdot {\operatorname{cos} \left( \alpha \right) } \\ [/math][br]Als Schnittwinkel wird der kleinere Winkel angegeben. Bei Winkel über 90° die Differenz zu 180° angeben.[br]Anhand der Richtungsvektoren r_g und r_h kann ich im Applet erkennen, das der größere Winkel berechnet wird - ich könnte die Orientierung eines Richtungsvektors drehen, z.B. -r_g oder in einer Geradengleichung den Richtungsvektor abziehen, g: (2,2,-3) - t*(2,2,-1), um den kleineren Winkel zu erhalten: Ändern Sie g(t) und sehen Sie, wie das Applet reagiert!
Schnittgerade zweier Ebenen - Koordinatenformen
Aufgrund der unterschiedlichen Schreibweisen als Parameterform bzw. Koordinatenform bieten sich unterschiedliche Verfahrenswege an.[br][br][b]Koordinatenform und Koordinatenform[/b][br]Die 2 Koordinatengleichungen ergeben ein unterbestimmes Gleichungssystem. Ich löse dieses GLS, wobei ich gleich eine der Koordinaten, sagen wir [b]z=t[/b], als Laufparameter der zu erwartenden Geraden festlege und [b]x[/b],[b]y[/b] in Abhängigkeit von t berechne. Das Ergebnis für (x,y,z) ist die Schnittgerade.
[table][tr][td]Mathe [br][/td][td]Eingabe [br][/td][td]Ausgabe[/td][/tr][tr][td][math]E1:2x+2y-z=6[/math] [/td][td][size=100][color=#1155Cc][size=85][size=50]1[/size][/size] [size=85]E1(x, y, z):= 2x+2y-z-6[/size][br][size=100][color=#1155Cc][size=85][size=50]2 [/size][/size][/color][/size][size=85]E_1:=E1(x,y,z)=0 [/size][/color][/size] [br][/td][td][math]{E1(x, y, z) \, := \, 2 \; x + 2 \; y - \; z - 6}[/math][br][math]{E_1: \, 2 \; x + 2 \; y - z - 6 = 0}[/math] [br][/td][/tr][tr][td][math]E2:6x+9y+2z=-22[/math][br][/td][td] [size=100][color=#1155Cc][size=100][color=#1155Cc][size=100][color=#1155Cc][size=85][size=50]3 [/size][/size][/color][/size][/color][/size][size=85]E2(x, y, z):= 6x+9y+2z+22[/size][br][size=100][color=#1155Cc][size=100][color=#1155Cc][size=85][size=50]4 [/size][/size][/color][/size][/color][/size][size=85]E_2:=E2(x,y,z)=0[/size][/color][/size] [br][/td][td][math]{E2(x, y, z) \, := \, 6 \; x + 9 \; y + 2 \; z + 22}[/math][br][math]{E_2: \, 6 \; x + 9 \; y + 2 z + 22 = 0}[/math] [br][/td][/tr][tr][td][math]\mathbf {z=t}[/math][br][math]E1:2x+2y-t=6[/math][br][math]E2:6x+9y+2t=-22[/math][br][math]E2-3E1[/math]:[br][/td][td][color=#1155Cc][br][/color][/td][td][br][/td][/tr][tr][td][math]+6x+9y+2t=-22[/math][br][math]{-6x - 6y \;+ 3t = - 18}[/math][br] [math]+ 3y + 5t = -40[/math][br][/td][td][color=#1155Cc][size=100][color=#1155Cc][size=100][color=#1155Cc][size=85][size=50]5[/size][/size][/color][/size][/color][/size] [size=85]E2(x,y,t)-3*E1(x,y,t)[/size] [/color][/td][td][math]{5 \; t + 3 \; y + 40}[/math] [/td][/tr][tr][td][math]\mathbf {y = \frac{-40 - 5t}{3}}[/math] in E1[br][/td][td][color=#1155Cc][size=100][color=#1155Cc][size=100][color=#1155Cc][size=85][size=50]6 [/size][/size][/color][/size][/color][/size][size=85]Löse($5,y)[/size][/color][/td][td][math]{ \left\{ y = -\frac{5}{3} \; t - \frac{40}{3} \right\} }[/math][/td][/tr][tr][td][math]2x+2( \frac{-40 - 5t}{3})-t=6[/math][br][math]{-\frac{13}{3} \; t + 2 \; x - \frac{80}{3} = 6}[/math][/td][td][color=#1155Cc][size=100][color=#1155Cc][size=100][color=#1155Cc][size=85][size=50]7 [/size][/size][/color][/size][/color][/size][size=85]Ersetze(E1(x,y,t),$6)[/size][/color][/td][td][math]{-\frac{13}{3} \; t + 2 \; x - \frac{98}{3}}[/math][/td][/tr][tr][td][math]{\mathbf { x = \frac{13}{6} \; t + \frac{49}{3} }[/math][/td][td][color=#1155Cc][size=100][color=#1155Cc][size=100][color=#1155Cc][size=85][size=50]8[/size][/size][/color][/size][/color][/size][size=85][size=100][color=#1155Cc][size=100][color=#1155Cc][size=50] [/size][/color][/size][/color][/size]Löse($7,x)[/size][/color][/td][td][math]{ \left\{ x = \frac{13}{6} \; t + \frac{49}{3} \right\} }[/math][br][/td][/tr][tr][td][math]\vec{x}=\left(\begin{matrix}\frac{13}{6}\\\frac{-40}{3}\\0\end{matrix}\right)+t\left(\begin{matrix}\frac{49}{3}\\\frac{-5}{3}\\1\end{matrix}\right)[/math] [br][/td][td][color=#1155Cc][size=100][color=#1155Cc][size=100][color=#1155Cc][size=85][size=50]9 [/size][/size][/color][/size][/color][/size][size=85]g(t):=Ersetze((x,y,t),{$6,$8})[br][/size][/color][/td][td][math]g(t):={\left(\frac{49}{3} \; t + \frac{13}{6}, -\frac{5}{3} \; t - \frac{40}{3}, t \right)}[/math][br][/td][/tr][/table]
[url=https://hawehofmann.files.wordpress.com/2017/05/geogebracas_beispiele2.pdf][icon]/images/ggb/toolbar/mode_tool.png[/icon]Alle Aufgabenschritte mit Erklärungen[br][/url]
Ebene Parameterform x Gerade
Gerade-Kugel Schnittpunkte Tangenten Pol
Kugel M=(1,-2,1) r= 2[br]Punkt T (4,1,4) [br]Gerade g(t):=(-3,2,0)+t*(2,-3,1)[br][br]KugelTangenteVonPunkt.ggb
Kugel M,r : [math]\left(\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)-M\right)^2-r^2=0[/math] und Gerade [math]g\left(t\right):\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)=A+t\cdot\vec{v}[/math][br]