[b]Eine zweite quadratische Form auf [math] \large\mathcal{ G} [/math] erzeugt in der Möbiusebene ein quadratisches Vektorfeld[/b]:[br][br]Es sei auf [math] \large\mathcal{ G} [/math] neben [math]\bullet[/math] eine zweite komplexe symmetrische Bilinearform [math] \langle\;,\;\rangle[/math] gegeben. [br]Dazu gibt es eine selbstadjungierte komplex-lineare Abbildung [math]\mathbf{S}[/math], [br]welche zwischen den Formen vermittelt: [br][list][*][math] \langle\mathbf\vec{g}_1\,,\, \mathbf\vec{g}_2\rangle = \mathbf{S}\,\mathbf\vec{g}_1\bullet\mathbf\vec{g}_2=\mathbf\vec{g}_1\bullet\mathbf{S}\,\mathbf\vec{g}_2 \mbox{ für alle }\mathbf\vec{g}_1,\;\mathbf\vec{g}_2\in \large\mathcal{ G} [/math].[/*][/list]Auf der Möbiusebene wird mit [math]\mathbf{S}[/math] ein [b]quadratisches Vektorfeld[/b] induziert durch[br][list][*] [math] \langle\mathbf\vec{p}\,,\, \mathbf\vec{p}\rangle=\mathbf{S}\,\mathbf\vec{p}\bullet\mathbf\vec{p}\;\,=1[/math] für Berührgeradenvektoren [math]\mathbf\vec{p}[/math], das sind [math]\mathbf\vec{p}\in\mathcal{ G}[/math] mit [math]\mathbf\vec{p}\bullet\mathbf\vec{p}=0 [/math]. [br][/*][/list]In jedem euklidischen KOS besitzt die Gleichung [math] \langle\mathbf\vec{p}\left(z\right)\,,\, \mathbf\vec{p}\left(z\right)\rangle=\mathbf{S}\,\mathbf\vec{p}\left(z\right)\bullet\mathbf\vec{p}\left(z\right)\;\,=0[/math] [i]vier[/i] Nullstellen, es sei denn, mindestens eine der Nullstellen liegt in [math]\infty[/math]. Wir nennen diese Punkte aus später ersichtlichen Gründen [i][b]Brennpunkte[/b][/i] des quadratischen Vektorfeldes.[br]Es sei daran erinnert, dass für differenzierbare Kurven [math]t\mapsto z\left(t\right)[/math] die begleitende Tangente in [math] \large\mathcal{ G} [/math] beschrieben [br]wird durch [math] \mathbf\vec{p}\left(t\right)=\frac{1}{z'\left(t\right)}\cdot\mathbf\vec{p}\left(z\left(t\right)\right)[/math]. Damit ergibt sich:[br]Lösungskurven eines quadratischen Vektorfeldes sind Lösungen einer [i][b]elliptischen[/b][/i] [i][b]Differentialgleichung[/b][/i][br][list][*] [math]z'\left(t\right)^2=c\cdot\left(z\left(t\right)-z_1\right)\cdot\left(z\left(t\right)-z_2\right)\cdot\left(z\left(t\right)-z_3\right)\cdot\left(z\left(t\right)-z_4\right)[/math][/*][/list]Die Lösungen quadratischer Vektorfelder sind also ganz allgemein [br] [i][b]elliptische Funktionen[/b][/i] [math]z\mapsto f\left(z\right)[/math], die einer [i]elliptischen Differentialgleichung[/i] genügen:[br][list][*] [math]f'^2=c\cdot\left(f-z_1\right)\cdot\left(f-z_2\right)\cdot\left(f-z_3\right)\cdot\left(f-z_4\right)[/math][/*][/list]

Das Applet soll eine der zahlreichen interessanten geometrischen Eigenschaften quadratischer Vektorfelder veranschaulichen:[br][br][i][b]Jedes quadratische Vektorfeld läßt sich als Produkt zweier linearer Vektorfelder darstellen, bei [br]geeigneter Normierung sogar als "Produkt" zweier Kreisbüschel.[/b][/i][br][u][i]Geometrisch bedeutet dies[/i][/u]: [br]Die Integralkurven des quadratischen Vektorfeldes sind die [i][b]Winkelhalbierenden[/b][/i] der Kreise [br]aus zwei Kreisbüscheln.[br]D.h.: Durch jeden Punkt der Ebene, von den Polen der Kreisbüschel abgesehen, geht je ein Kreis [br]aus jedem der beiden Büschel. Die Winkelhalbierenden dieser Kreise bilden zwei orthogonale Richtungen,[br]diese sind tangential an die Integralkurven des quadratischen Vektorfeldes.[br][br]Dies erinnert nicht ohne Grund an die Situation bei [i][b]konfokalen Kegelschnitten[/b][/i]: [br]Die Tangenten eines Kegelschnitts sind Winkelhalbierende der [i]Brennstrahlen[/i], das sind die Geraden [br]durch je einen Brennpunkt und den Kurvenpunkt. [br]Möbiusgeometrisch sind das Kreise durch Brennpunkt, Kurvenpunkt und [math]\infty[/math].[br]Konfokale Kegelschnitte bilden ein orthogonales Kurvennetz.[br]Tatsächlich sind Kegelschnitte und deren konfokale Netze mit ihren Eigenschaften [i]Spezialfälle[/i] von [br][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i] und den aus diesen erzeugbaren konfokalen Kurvennetzen, die sich als [br]Integralkurven spezieller quadratischer Vektorfelder herausstellen.[br][br]Zunächst: Ist [math]\mathbf{S}[/math] eine selbstadjungierte Abbildung auf [math]\left(\large\mathcal{G},\bullet\right)[/math], so gehört zu [math]\mathbf{S}-c\cdot\mathbf{Id},c\in \mathbb{C}[/math] auf der [br]Möbiusquadrik dasselbe Vektorfeld wegen [math]\left(\mathbf{S}-c\cdot\mathbf{Id}\right)\mathbf\vec{p}\;\bullet\mathbf\vec{p}=\mathbf{S}\,\mathbf\vec{p}\,\bullet\mathbf\vec{p}[/math] für Berührgeradenvektoren [math]\mathbf\vec{p}[/math],[br]eine Umnormierung [math]w\cdot\mathbf{S}[/math] bedeutet den Übergang zu Isogonaltrajektorien. [br]Ist [math]c[/math] ein Eigenwert und [math]\large\mathcal{U}[/math] der zweidimensionale Orthogonalraum des Eigenvektors, [br]so läßt sich [math]\mathbf{S}-c\cdot\mathbf{Id}[/math] als Produkt zweier linearer Vektorfelder mit zwei Vektoren aus [math]\large\mathcal{U}[/math] darstellen. [br][br]Schneller kann man die Behauptung auf folgendem Wege einsehen: [br][br]Sind in [math]\large\mathcal{G}[/math] [math]\mathbf\vec{g}_{12}=\left[\,\mathbf\vec{p}\left(z_1\right),\mathbf\vec{p}\left(z_2\right)\,\right][/math] und [math]\mathbf\vec{g}_{34}=\left[\,\mathbf\vec{p}\left(z_3\right),\mathbf\vec{p}\left(z_4\right)\,\right][/math], von der Normierung abgesehen, [br]die Verbindungs-geraden je zweier Nullstellenpaare, dann stimmt die quadratische Form [br][math] \mathbf\vec{g}_{12}\,\vee\,\mathbf\vec{g}_{34}\,\left(\mathbf\vec{p}\left(z\right)\,,\,\mathbf\vec{p}\left(z\right)\right):=\mathbf\vec{g}_{12}\bullet\mathbf\vec{p}\left(z\right)\;\cdot\;\mathbf\vec{g}_{34}\bullet\mathbf\vec{p}\left(z\right)[/math] bis auf die Normierung mit [math]\mathbf{S}[/math] auf der Möbiusquadrik überein. [br]Fallen Nullstellen zusammen, kann man die Verbindungsgeraden durch die Berührgeraden ersetzen.[br]Wählt man die Normierung so, dass [math]\mathbf\vec{g}_{12},\,\mathbf\vec{g}_{34}[/math] Geraden in [math]\large\mathcal{G}[/math], also Kreisbüschel sind, [br]dann ist [math]w\cdot\mathbf{S}=\mathbf\vec{g}_{12}\,\vee\,\mathbf\vec{g}_{34}[/math] für geeignetes [math]w\in\mathbb{C}[/math] tatsächlich das "Produkt" zweier Kreisbüschel.[br]Ist ein Berührgeradenvektor [math]\mathbf\vec{p}\in\large\mathcal{G}[/math] mit [math]\mathbf\vec{p}\,^2=0[/math] Tangentialvektor des quadratischen Vektorfeldes [math] \mathbf\vec{g}_{12}\,\vee\,\mathbf\vec{g}_{34}[/math], [br]dh. es gilt [math] \mathbf\vec{g}_{12}\bullet\mathbf\vec{p}\,\cdot\,\mathbf\vec{g}_{34}\bullet\mathbf\vec{p}=1[/math] und sind [math] \mathbf\vec{g}_{12},\,\mathbf\vec{g}_{34}[/math] Geradenvektoren von Kreisbüscheln, dh. es ist [br][math] \mathbf\vec{g}_{12}\, ^2 \in \mathbb{R} \mbox{ und }\mathbf\vec{g}_{34}\, ^2\in \mathbb{R}[/math], so gibt es eine komplexe Zahl [math]c=\rho\cdot e^{i\cdot\varphi}[/math], so dass [math] \mathbf\vec{g}_{12}\bullet \left(\rho\cdot e^{i\cdot\varphi}\,\mathbf\vec{p}\right)=1[/math] und [br][math] \mathbf\vec{g}_{34}\bullet \left(\frac{1}{\rho}\cdot e^{-i\cdot\varphi}\,\mathbf\vec{p}\right)=1[/math] gelten. [br]Dreht man also [math]\mathbf\vec{p}[/math] um den Winkel [math]\varphi[/math], so ist [math]\mathbf\vec{p}[/math] tangential an den Kreis durch [math]\mathbf\vec{p}[/math] aus [math]\mathbf\vec{g}_{12}[/math], [br]gedreht um [math]-\varphi[/math] ist [math]\mathbf\vec{p}[/math] tangential an den Kreis aus [math]\mathbf\vec{g}_{34}[/math].[br][br]Hieraus folgt die Erkenntnis:[br][list][*]Die Tangentialvektoren des quadratischen Vektorfeldes sind die Winkelhalbierenden der beiden linearen Vektorfelder. [/*][*]Die Lösungskurven durch einen Punkt halbieren den von den Kreisen der beiden Büschel durch diesen Punkt gebildeten Winkel. [/*][/list]Im obigen Applet gehen durch den beweglichen Punkt [math]\mathbf\vec{p}(z_0)[/math] auf der Kugel die Kreise der beweglichen [br]Kreisbüschel durch [math]\mathbf\vec{p}(z_1),\mathbf\vec{p}(z_2)[/math] bzw. [math]\mathbf\vec{p}(z_3),\mathbf\vec{p}(z_4)[/math]. Der weiße Tangentialvektor halbiert den Winkel [br]zwischen den beiden Kreisen. [br]Die Punkte auf der Quadrik oben und [math]z_1,\,z_2,\,z_3,\,z_4[/math] unten sind beweglich.[br][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size]