GioGebraで解析力学

Bunryu Kamimura, Mar 10, 2017

ジオジェブラにはアニメーションがある。最初、斜面を転がるアニメーションを作った。その時、そもそもジオジェブラの放物線上の点の動きは何によっているのかわからなかった。いろいろ調べたが、未だわからない。仕方がないので、時間の流れを一定にとって、そこから自然落下を考えることにした。 次に、最速降下線を作って動かしてみた。すると、どうやってこれが一番早いということがわかったのか気になりだした。 これは、変分法の始まりだ。そこで変分法と解析力学をジオジェブラで理解することができないかと考えた。 でも、どこから手をつけたらいいのだろう。解析力学というと微分方程式が思い浮かぶ。そこで、まず微分方程式のコマンドを調べてみた。 こうやってシートを作りながらイメージを育てていくという方法をとった。

Table of Contents

  1. 最速降下線
    1. 振り子から斜面へ
    2. 放物線にそって落ちる球
    3. 最速降下線
  2. いろいろな運動
    1. 振り子運動
    2. 追跡線の意味
    3. 回転運動
    4. Elastic Collisions in One Dimension
    5. サイクロイドの媒介変数表示
    6. 上独楽と下独楽
  3. 変分法
    1. Regiomontanusの問題
    2. アリスの水くみ
    3. ベルヌーイの問題
    4. 変分法の独学のための戦略地図
    5. オイラー方程式に代入する
    6. 合成関数の微分
    7. オイラーの解
    8. 最速降下線の一般解
    9. オイラー方程式の導出
    10. 部分積分
  4. 微分方程式
    1. コマンド
    2. Derivative（微分）とSolveODE（解）
    3. 円の微分方程式の勾配場
    4. y'=-y/x
    5. y'=yとy'=1/x
    6. y'=2x-yと部分積分
    7. ｙ’＝ｙ／２ｘ
    8. ２階微分の入った式
    9. ｙ’＝（ｘ＋１）／ｙ
    10. ｙ’＝１／ｘ
    11. 微分方程式のいろいろな表現
    12. 貝の作る成長曲線
  5. 偏微分
    1. 偏微分と全微分のイメージ
    2. 偏微分と接平面
    3. 偏微分の法線ベクトル場
    4. Partial Derivatives
    5. 接平面の方程式
    6. 二変数関数の変化率Δｆ
    7. 微分形式
    8. 傾きf(x,y)=ax+by

1.

最速降下線

変分法のきっかけとなった問題。 1696 年、ベルヌーイが次のような問題を提起した。 　「質点がある点 A からスタートして滑らかな斜面を転がり落ちるとき、最短時間で別の点 B まで辿り着くには斜面をどのような形にしたら良いだろうか。」 まずは体験から。

  • 1. 振り子から斜面へ
  • 2. 放物線にそって落ちる球
  • 3. 最速降下線

1.1.

振り子から斜面へ

– Bunryu Kamimura

1.2.

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1.3.

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2.

いろいろな運動

いろいろな運動をアチコチから集めた。 結構面白いアニメーションがある。 これらのアニメーションはシュミレーションに過ぎないが、 この裏にある理論は実際に実験して見出されたものだ。 これらの運動を解析しようとすると、微分方程式に行きつく。

  • 1. 振り子運動
  • 2. 追跡線の意味
  • 3. 回転運動
  • 4. Elastic Collisions in One Dimension
  • 5. サイクロイドの媒介変数表示
  • 6. 上独楽と下独楽

2.1.

振り子運動

長さと角度を変えることができます。紐ではなく棒ですから上に（１７９度に）持っていくことも出来て、木が倒れる現象も示します。最初「倒木の現象」を作るために棒を買ってきて何度も実験をしました。振り子と同じだとは思ったのですが、こうやって理屈がわかると「なんだそういうことだったのか」です。
– Bunryu Kamimura

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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2.6.

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3.

変分法

難しすぎてジオジェブラでどうやって表現したらいいのかすらわからないが、挑戦してみる。 まずは、普通の最小問題から。そして、最速降下線を変分法を使って実際に求めてみる。その道筋をたどれば、何かが見えてくるはず。 やってみてわかってきたことは、微分の考え方を関数そのものに拡張するというアイディア。そして、微分法の計算の威力は素晴らしい。

  • 1. Regiomontanusの問題
  • 2. アリスの水くみ
  • 3. ベルヌーイの問題
  • 4. 変分法の独学のための戦略地図
  • 5. オイラー方程式に代入する
  • 6. 合成関数の微分
  • 7. オイラーの解
  • 8. 最速降下線の一般解
  • 9. オイラー方程式の導出
  • 10. 部分積分

3.1.

Regiomontanusの問題

微分の利用(その１) 点Ｃがｘ軸に沿って動くとき、Ｃから見てＡＢが一番大きく見える位置は？　　sinαを求め、最大値をとる時のｘを求めます。
岩田至康先生の解き方
sinα＝[math]\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}[/math][math]\cdot\frac{ax-bx}{\sqrt{b^2+x^2}}[/math]=[math]\frac{a-b}{\sqrt{x^2+a^2+b^2+\frac{a^2\cdot b^2}{x^2}}}[/math][br]sinαが最大値をとるのは右式の分母が最小値のとき[br]つまり、[br]y=[math]x^2+a^2+b^2+\frac{a^2\cdot b^2}{x^2}[/math]>0が最小値をとる時なのでｙを微分[br]y'=[math]2x-2\cdot a^2\cdot b^2\cdot x^{-3}[/math]=0[br]x=[math]a^2\cdot b^2\cdot\frac{1}{x^3}[/math][br][math]x^4=a^2\cdot b^2[/math][br]x=[math]\sqrt{a\cdot b}[/math][br][br][br]
– Bunryu Kamimura

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

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3.7.

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3.8.

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3.9.

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3.10.

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4.

微分方程式

まず、コマンドを使って微分方程式のイメージを体感する。 次に、微分方程式の解き方を調べる。 すると、微分や積分のことがだんだんと身についてくる。 何事も、具体的なイメージが大事。

  • 1. コマンド
  • 2. Derivative（微分）とSolveODE（解）
  • 3. 円の微分方程式の勾配場
  • 4. y'=-y/x
  • 5. y'=yとy'=1/x
  • 6. y'=2x-yと部分積分
  • 7. ｙ’＝ｙ／２ｘ
  • 8. ２階微分の入った式
  • 9. ｙ’＝（ｘ＋１）／ｙ
  • 10. ｙ’＝１／ｘ
  • 11. 微分方程式のいろいろな表現
  • 12. 貝の作る成長曲線

4.1.

コマンド

このコマンドを入力してみよう
– Bunryu Kamimura

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4.4.

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4.10.

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4.11.

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4.12.

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5.

偏微分

オイラー方程式を導くためには偏微分が必要だ。 偏微分のイメージと計算の仕方が大事。 [url]http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/MULTIMEDIA/calc/node47.html[/url] をそのまま図にしてみた。 一変数の場合の接線にあたるものが接平面。 ６と７の全微分の計算とその値が、変分法の計算につながっていく。

  • 1. 偏微分と全微分のイメージ
  • 2. 偏微分と接平面
  • 3. 偏微分の法線ベクトル場
  • 4. Partial Derivatives
  • 5. 接平面の方程式
  • 6. 二変数関数の変化率Δｆ
  • 7. 微分形式
  • 8. 傾きf(x,y)=ax+by

5.1.

偏微分と全微分のイメージ

y=f(x)の微分は接線の傾きだった。z=f(x,y)の微分はどうやったらいいのだろうか。まず、ｘとｙそれぞれで微分する。∂z/∂xと∂z/∂yを偏微分という。∂(デル)と呼ぶ。
– Bunryu Kamimura

5.2.

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5.3.

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5.4.

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5.5.

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5.6.

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5.7.

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5.8.

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