[table][tr][td]Hyperbelfunktion                                            [br][/td][td]goniometrische Funktion[br][/td][/tr][tr][td]sinhyp(x)=[math]\frac{e^x-e^{-x}}{2}[/math][/td][td]sin(x)=[math]\frac{e^{-ix}-e^{-ix}}{2i}[/math][/td][/tr][tr][td]coshyp(x)=[math]\frac{e^x+e^{-x}}{2}[/math][/td][td]cos(x)=[math]\frac{e^{-ix}+e^{-ix}}{2}[/math][/td][/tr][tr][td]tanhyp(x)=[math]\frac{sinhyp\left(x\right)}{coshyp\left(x\right)}[/math][br][/td][td]tan(x)=[math]\frac{sin\left(x\right)}{cos\left(x\right)}[/math][br][br][/td][/tr][/table]

[justify]Üblicherweise erscheint als [u][b]Argument[/b][/u] in den goniometrischen Funktionen die [b][u]Bogenlänge x[/u][/b] des Winkels, weshalb diese Funktionen meist als [u][b]"Winkelfunktionen"[/b][/u] und ihre Umkehrfunktionen als [u][b]"Arcusfunktionen"[/b][/u]  bezeichnet werden.[br][br]Bei den Hyperbelfunktionen ist das [u][b]Argument x=A[/b][/u] die violett gekennzeichnete[b][u] Fläche[/u][/b] (Beweis durch Integralrechnung mit Hilfe der Definitionsgleichungen!), weshalb deren Umkehrfuktionen auch [b][u]"Areafunktionen"[/u][/b] heißen. [br][br]Diese Betrachtungsweise lässt sich analog  auf den Einheitskreis übertragen, wenn man mit A und x die[u] [b]Maßzahlen[/b][/u] von Bogenlänge und Kreissektor bezeichnet:[/justify][br][br][math]\frac{A}{\pi r^2}=\frac{2x}{2\pi r}[/math] , wegen r=1 folgt A=x

[table][tr][td]Binomische Formeln auf die Definitions-[br]gleichungen anwenden:                                    [br][/td][td]Satz von Pythagoras am Einheitskreis:[br][/td][/tr][tr][td]coshyp²(x) - sinhyp²(x) = 1[br][/td][td]cos²(x) + sin²(x)=1[br][/td][/tr][/table]