Moltiplicazione A∙B con A e B entrambi punti del piano cartesiano.[br]A∙B è il punto realizzato nel sistema di riferimento ( 0 , B , B⊥ )[br]con le coordinate che A ha nel sistema di riferimento ( 0 , 1 , i ),[br]ossia con A_x e A_y .[br]Vedi ▶ [url]http://tinyurl.com/moltiplicazione[br][br][/url]In questa figura è il punto A a variare; e il punto B, che è fisso, stabilisce la rotazione e l'ingrandimento/rimpicciolimento.

Costruire BA o AB dà luogo allo stesso punto [br](proprietà commutativa della moltiplicazione tra punti):[br][br]A = p*1 + q*i = (p,q) ---> A⊥= (-q,p) = -q+pi[br]B=r*1+s*i=(r,s) ---> B⊥=(-s,r)=-s+ri[br]AB = p*B + q*B⊥ = p(r+si) + q(-s+ri)[br]BA = r*A+s*A⊥ = r(p+qi) + s(-q+pi) -[br]--> AB=BA

roto-omotetie in C[list][*][b]roto-omotetia[/b] di rapporto w: è l' [b]omotetia in C[/b] già considerata nella fase precedente; poniamo la definizione: [b]R[sub]w[/sub] : z [img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/freccia.gif[/img] z•w[/b], ossia [b]R[sub]w[/sub](z) := z•w[/b]. [br]R[sub]w[/sub] è anche detta [b][i]roto-omotetia di fattore w[/i][/b][br] [/*][*]la roto-omotetia [b]R[sub]w[/sub] : C [img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/freccia.gif[/img] C[/b] estende da R a C la parametrizzazione [b]L[sub]w[/sub] : R [img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/freccia.gif[/img] R•w[/b][br] [/*][*]Quando [b]w=x[/b] è reale si ha: [b]R[sub]x[/sub](z)=z•x=x•z=H[sub]x[/sub](z)[/b]. Le roto-omotetie generalizzano le omotetie (in quanto [b]diventano omotetie se il fattore è reale[/b])[br] [/*][*]proprietà delle roto-omotetie:[/*][/list][list][*]composizione di roto-omotetie: [b]R[sub]v[/sub][img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]R[sub]w[/sub] = R[sub]vw[/sub][/b][/*][*]azione sulle unità: [b]R[sub]w[/sub](1)=w[/b]  e  [b]R[sub]w[/sub](i)=ort(w)[/b][/*][*]commutatività: [b]R[sub]w[/sub][img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]R[sub]v[/sub] = R[sub]v[/sub][img]http://w3.romascuola.net/gspes/c/img/composto.gif[/img]R[sub]w[/sub][/b][/*][*]associatività: come per traslazioni e omotetie [/*][*]azione sul coniugato del fattore: [b]R[sub]w[/sub](w) ≥ 0[/b][br]([i]prova a dimostrare queste proprietà[/i])[br] [/*][/list][list][*]Approfondimento:  [url=http://w3.romascuola.net/gspes/pgc/eulero.html]la formula di Eulero e le funzioni seno e coseno[/url][/*][/list]