GeoGebra 3D
Materialien zur GeoGebra-Tagung in Koblenz am 17./18.05.2016
Table of Contents
- Platonische Körper
- Netz eines Ikosaeders
- Pythagoras
- Pythagoras 3D
- Würfelschnitte
- Würfelschnitte 1
- Würfelschnitte ganz einfach?
- Kugelschnitte
- Pyramide
- Ellipsoid
- Lineare Algebra / Vektorgeometrie
- Schatten eines Hauses
- 3 x 3 - Gleichungssystem
- Rotationskörper
Netz eines Ikosaeders
Pythagoras 3D
Die räumliche Version des Satzes von Pythagoras
Johannes Faulhaber (1580 - 1635) verdanken wir eine höchst erstaunliche Entdeckung: Der wohlbekannte Satz des Pythagoras besitzt eine Entsprechung im Raum. [br]Im folgenden Applet kann man sich davon überzeugen, dass es in einer Dreieckspyramide eine einfache Beziehung zwischen den Flächeninhalten der 4 Dreiecksseiten gibt. Voraussetzung ist, dass drei der vier Dreiecke rechtwinklig aufeinander stoßen.
Beweis mit den Mitteln der Vektorgeometrie
Mit den Bezeichnungen [math]a=\left|\vec{OA}\right|[/math], [math]b=\left|\vec{OB}\right|[/math] und [math]c=\left|\vec{OC}\right|[/math] gilt für die Inhalte der drei rechtwinkligen Dreiecke (man könnte sie etwas flapsig als "Kathetendreiecke" bezeichnen): [math]A_{OAB}=\frac{a\cdot b}{2}[/math], [math]A_{OAC}=\frac{a\cdot c}{2}[/math] und [math]A_{OBC}=\frac{b\cdot c}{2}[/math].[br]Für das vierte Dreieck ("Hypotenusendreieck") gilt: [math]A_{ABC}=\frac{\left|\vec{BC}\times\vec{BA}\right|}{2}=\frac{\sqrt{\left(ab\right)^2+\left(ac\right)^2+\left(bc\right)^2}}{2}[/math].[br]Daraus folgt sofort: [math]A_{OAB}^2+A_{OAC}^2+A_{OBC}^2=A_{ABC}^2[/math]
Gilt auch die Umkehrung?
Zeige durch Angabe eines Gegenbeispiels, dass die Umkehrung des Satzes im Allgemeinen nicht gilt.
Beweis für den Fall a = b = c
Beweise die Aussage für den Fall [math]\text{a = b = c}[/math] "elementar", also ohne Vektorprodukt.
Untersuchungen an verwandten Körpern
Untersuche weitere Dreieckspyramiden, die von mindestens drei rechtwinkligen Dreiecken begrenzt werden, auf ähnliche Zusammenhänge.
Würfelschnitte 1
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Die Ebene wandert entlang einer Diagonalen durch den Würfel mit Kantenlänge 1. Es ergeben sich Dreiecke und Sechsecke als Schnittfiguren. |
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