Geometría analítica tridimensional
Table of Contents
- Vectores (sin datos numéricos)
- GA3D_1_1_Longitud de un vector
- GA3D_1_2_Vectores ortogonales
- GA3D_1_3_Producto escalar de dos vectores
- GA3D_1_4_Ángulo de dos vectores
- GA3D_1_5_Vectores paralelos
- GA3D_1_6_1_Producto vectorial de dos vectores
- GA3D_1_6_2_Interpretación geométrica del producto vectorial
- GA3D_1_7_1_Producto mixto de tres vectores
- GA3D_1_7_2_Interpretación geométrica del producto mixto.
- Vectores (con datos numéricos)
- GA3D_2_1_Copia de Producto escalar (ILC)
- GA3D_2_1_Producto escalar de dos vectores
- Puntos, rectas y planos (sin datos numéricos)
- GA3D_3_4_1_Recta perpendicular a otra desde un punto exterior
- GA3D_3_4_2_Recta perpendicular a un plano
- GA3D_3_4_3_Plano perpendicular a una recta
- GA3D_3_4_4_Recta ortogonal a dos rectas que se cruzan
- Puntos, rectas y planos (con datos numéricos)
- GA3D_Copia de Recta que se apoya en otras dos y pasa por un punto (ILC)
- GA3D_Copia de Perpendicular común de dos rectas que se cruzan (ILC)
- Geometría métrica (sin datos numéricos)
- GA3D_5_1_1_Distancia entre dos puntos en el espacio
- GA3D_5_1_2_Distancia a una recta desde un punto exterior
- GA3D_5_1_3_Distancia a un plano desde un punto exterior
- GA3D_5_2_Proyecciones ortogonales
- GA3D_Copia de Distancias entre puntos de rectas que se cruzan (ILC)
- Geometría métrica (con datos numéricos)
- GA3D_Copia de Distancia de un punto a un plano (ILC)
- GA3D_Copia de Distancia de un punto a una recta en el espacio (ILC)
- GA3D_Copia de Distancias entre rectas que se cruzan (ILC)
- GA3D_Copia de Distancias: punto, recta y plano (AA)
- GA3D_Copia de Distancia entre dos puntos (ILC)
GA3D_1_1_Longitud de un vector
GA3D_2_1_Copia de Producto escalar (ILC)
El producto escalar de dos vectores de [b][i]V[sup]2[/sup][/i][/b], vectores libres del plano (o de [b][i]V[sup]3[/sup][/i][/b], vectores libres del espacio), se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. Como los cosenos de ángulos opuestos son iguales, de la misma definición se desprende de inmediato la conmutatividad de la operación. [br][br]A partir de ésta definición, si los vectores se expresan en una base ortonormal, formada por vectores mutuamente perpendiculares y de módulo 1, se ve que el producto escalar es igual a la suma de los productos de las coordenadas correspondientes. esto permite calcular los módulos de lo vectores y los ángulos que forman, conocida su expresión en una base ortonormal. Esto permite extender estos conceptos a espacios vectoriales de cualquier número de dimensiones y constituidos por elementos de todo tipo.
Marcando la casilla '[color=#38761d][b]Int. geom.[/b][/color]' puede verse la interpretación geométrica del producto escalar: es igual al producto del módulo de un vector por la proyección del otro sobre él, en la que el papel de ambos vectores es intercambiable. Dicho de otra forma, el producto escalar es igual al producto de las componentes de ambos vectores en la dirección de cualquiera de los dos.[br][br]¿Cuándo es positivo, nulo o negativo el producto escalar de dos vectores?[br][br]¿Cuánto vale el producto si uno de los vectores es el vector nulo?[br][br]¿Qué ocurre con el producto escalar si se multiplica uno de los vectores por una constante positiva?[br][br]¿Y si la constante es negativa? Ten en cuenta como cambia entonces el ángulo que forman los vectores.[br][br][br]
GA3D_3_4_1_Recta perpendicular a otra desde un punto exterior
GA3D_Copia de Recta que se apoya en otras dos y pasa por un punto (ILC)
La recta [color=#980000][b]t[/b][/color] que se apoya en dos rectas [color=#ff00ff][b]r[/b][/color] y [color=#ff7700][b]s[/b][/color] que se cruzan y pasa por un punto [color=#980000][b]P[/b][/color], debe estar contenida en el plano [color=#ff00ff][b]ρ[/b][/color] que contiene a [color=#ff00ff][b]r[/b][/color] y [color=#980000][b]P[/b][/color], así como en el plano [color=#ff7700][b]σ[/b][/color] que contiene a [color=#ff7700][b]s[/b][/color] y [color=#ff7700][b]P[/b][/color]. Será por tanto la intersección de estos dos planos.
Los puntos [color=#ff00ff][b]R[/b][/color] y [color=#ff7700][b]S[/b][/color] en los que la recta [color=#980000][b]t[/b][/color] se apoya en las rectas [color=#ff00ff][b]r[/b][/color] y [color=#ff7700][b]s[/b][/color] son las intersecciones del plano [color=#ff7700][b]σ[/b][/color] con la recta [color=#ff00ff][b]r[/b][/color] y del plano [color=#ff00ff][b]ρ[/b][/color] con la recta [color=#ff7700][b]s[/b][/color], respectivamente.[br][br]Como solo se representa una porción finita de los planos, puede parecer que el punto [color=#980000][b]P[/b][/color] no está contenido en ellos, pero si se gira la figura, con el botón derecho del ratón, puede apreciarse que si que lo está.
GA3D_5_1_1_Distancia entre dos puntos en el espacio
GA3D_Copia de Distancia de un punto a un plano (ILC)
El problema de hallar la distancia de un punto [color=#ff0000][b]P[/b][/color] a un plano [color=#ff7700][b]ω[/b][/color] es completamente similar al de hallar la [url=http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/DistanciaPuntoRecta.html]distancia de un punto a una recta en el plano[/url]. Se trata de la distancia más corta posible, perpendicular por tanto, del punto a cualquier punto del plano.[br][br]Sin embargo aquí el plano se ha definido por un punto [color=#0000ff][b]Q[/b][/color] por el que pasa, y un vector [color=#0000ff][b]v[/b][/color] perpendicular a él, de manera que modificando cualquiera de los dos, se cambia el plano.
Los puntos [color=#ff0000][b]P[/b][/color] y [color=#0000ff][b]Q[/b][/color] se pueden desplazar gráficamente o modificarlos en las correspondientes casillas de entrada, como el vector [color=#0000ff][b]v[/b][/color]. La figura puede girarse en cualquier dirección en 3D.