ARS BONN 3. Semester
[b]3. Semester[/b] [color=#c51414][b][math]f(x) = mx + n [/math][/b][/color] [color=#1551b5][b][math]p(x)= ax^2 + bx + c[/math][/b][/color] [color=#0a971e][b][math]e(x) = q^x[/math][/b][/color] Digitalisierte Erweiterung zum Mathematikunterricht der ARS Bonn. Darstellung von Funktionen und Modellierung mit Mathematik. [b]Letzte Aktualisierung: 08.12.2020[/b]
Table of Contents
- Voraussetzungen und Wiederholungen
- Grundlegendes
- Zuordnungen
- Lineare Gleichungssysteme
- Der Funktionsbegriff
- Linearen Funktionen an der ARS Bonn
- Funktion und funktionieren
- Der Begriff Funktion in der Mathematik
- Funktionaler Zusammenhang
- Des Zahlenteufels Brezelgeschichte
- 01_Punkte im KOS
- Punkte im KOS
- Was gehört zu x?
- 02_Der Achsenabschnitt
- Lineare Funktionen
- 03_Treppen
- 04_Steigungen ermitteln
- Das Steigungsdreieck
- Unterricht in der Coronakrise
- Arbeitsblatt Achsenabschnitt Teil 2
- Aufgaben von Herrn Kreutzkamp
- Unterricht in der Coronakrise II
- 05_Umgang mit der Parameterdarstellung
- 06_Übung_lin-Fkt_ungleiches_Rennen
- Zur Parameterdarstellung f(x) := mx + n
- Das ungleiche Rennen
- 07_Kerzen im Modell
- Kerzenaufgabe
- Rampenaufgabe
- Lösung zur Aufgabe 3
- Treffpunktaufgabe vom 07.09.2015
- Corona
- Dokumentation einer Pandemie
- Interaktive Karte
- Gegen die Langeweile
- Die Pandemie mathematisch erfassen
- Der Verdoppelungsfaktor
- 1.3 Verdopplungsrechner - doubling calculator
- Der R - Faktor
- Quadratische Funktionen
- Funktionalen Betrachtung eines Quadrates
- Die Quadratwurzel
- Mathematik und Literatur
- Parameter entdecken
- 1. Binomische Formel
- 04_ Wdh_Binome
- Parameter der quadratischen Funktion
- Mit der Parameterdarstellung arbeiten
- Nullstellenberechnung quadratischer Funktionen
- Den p-q-Term verstehen
- Zusammenfassendes Video
- Lösungswege quadr Gleichung
- Übungen zum Lösen quadratischer Gleichungen
- Gleichungslöser für Nullstellen
- Modellieren mit quadratischen Funktionen
- Ausgewählte Modellierungen
- Exponentielle Funktionen
- Zinsen als Beispiel für Wachstum
- Kapitalwachstum
- Exponentielle Modellierungen
- Mit der Exponentiellen Funktion experimentieren
- Das x als Exponent
- Wachstumsvergleich
- Wahrscheinlichkeitsrechnung
- Potenzrechnung
Grundlegendes
Voraussetzungen
Der Erfolg im 3. Semester ist an mathematische Voraussetzungen gebunden, die entweder in den Semestern 1 und 2 erworben wurden, oder die Sie aufgrund Ihres Abschlusses mitbringen. Nachfolgend finden Sie eine kurze Übersicht mit Erklärungen. [br]Die [b]grundlegenden arithmetischen Rechenverfahren[/b] müssen Sie in allen [b]Zahlbereichen[/b] beherrschen.[br]Das Wort [b]Arithmetik[/b] kommt von Zählen, somit sind mit den grundlegenden arithmetischen Rechenverfahren die sogenannten [b]Grundrechenarten[/b] gemeint. [br]Dabei ist das 'Kleine Einmaleins' durchaus hilfreich.[br][br]Der Begriff Zahlbereich ist möglicherweise etwas ungewohnt. Gemeint ist folgendes:[br][br]Sofern Sie nur positive Zahlen benutzen und auch nur abzählbare Objekt haben, rechnen Sie mit den [b]natürlichen Zahlen[/b]. (0; 1; 2; 3; ...)[br]Im zweiten Semester haben Sie diese Zahlen, die am Zahlenstrahl [u]angeordnet[/u] sind, am [b]Nullpunkt[/b] gespiegelt. Damit haben Sie negative Zahlen erzeugt, und am Beispiel von [b]Temperaturskalen[/b], [b]Höhenunterschieden[/b] und [b]Kontoständen[/b] in die Mathematik eingebunden. Diesen Zahlreich nennen die Mathematiker den Bereich der [b]ganzen Zahlen[/b].[br]Im ersten Semester haben Sie die [b]Bruchzahlen [/b]kennengelernt, sowohl als [b]Dezimalzahlen[/b], als auch als [b]gemeine Brüche[/b]. Sie sollten sich im 3. Semester daran gewöhnen, mit den gemeinen Brüchen zu operieren, und nicht in der Dezimalzahlwelt verharren. Um gleich mit einem weit verbreiteten Irrtum aufzuräumen:[math]\frac{1}{3}[/math]ist [b][u]nicht[/u][/b] dasselbe wie 0,3!!! [br] [math]\frac{1}{3}\ne0,3[/math] (Das durchgestrichene Gleichheitszeichen bedeutet ungleich!)[br]Die Brüche nenne die Mathematiker [b]rationale Zahlen[/b].[br][br]Bei der [url=https://www.geogebra.org/m/uu79t5jz]Kreisberechnung[/url] haben Sie eine ganz besondere Zahl kennengelernt, die Zahl [b]Pi[/b] ([math]\pi[/math])[br]Sie ist weder rational, noch ganz, noch natürlich, aber man kann Sie auf dem Zahlenstrahl finden, deshalb ist es eine[b] reelle Zahl,[/b] der Zahlreich, in dem Sie jetzt im 3. Semester angekommen sind.[br]Sie werden im dritten Semester auch noch die [b]Quadratwurzeln[/b] kennenlernen werden, die zwar reell aber nur selten rational oder ganzzahlig sind. Dazu später mehr.[br]Nach diesem kurzen Überblick folgen nun die Grundlegenden Eigenschaften der Grundrechenarten.
Addition und Subtraktion
Die Rechenzeichen der Addition und Subtraktion bestehen aus Strichen, weshalb sie [b][color=#b45f06]Strichrechnungen [/color][/b]genannt wird.[br][br][b][color=#ff0000]Das Wichtigste auf einen Blick[/color][/b][br][br][table][tr][td][/td][td][color=#0000ff][b]Addition[/b][/color][/td][td][color=#ff7700][b]Subtraktion[/b][/color][/td][/tr][tr][td]Rechenzeichen[/td][td]+ (plus)[/td][td]- (minus)[/td][/tr][tr][td]Ergebnis[/td][td][b]Summe(nwert) S[/b][/td][td][b]Differenz(enwert) D[/b][/td][/tr][tr][td]Eigenschaft[/td][td][color=#00ff00][b]Summanden[/b][/color] vertauschbar[/td][td][color=#38761d][b]Minuend[/b][/color] und [b][color=#ff00ff]Subtrahend[/color][/b] nicht vertauschbar[/td][/tr][tr][td]algebraische Darstellung[/td][td] [color=#00ff00][b]s[sub]1[/sub][/b][/color] + [color=#00ff00][b]s[/b][/color][sub][color=#00ff00][b]2[/b][/color] [/sub]= [b]S[/b][/td][td][color=#38761d][b]m[/b][/color] - [color=#ff00ff][b]s[/b][/color] = [b]D [/b][/td][/tr][/table][br]Wie man die Strichrechnung mit [b]Vektoren[/b] beschreibt, können Sie mit der nachfolgenden Datei ausprobieren.[br]Da die Subtraktion eine andere Richtung hat als die Addition, sind diese Operationen gegenseitige Umkehroperationen. Diesen Zusammenhang benötigen Sie später beim Gleichungslösen.
Strichrechnung üben
Multiplikation und Division
Die Rechenzeichen der Multiplikation und der Division bestehen aus Punkten, weshalb sie [color=#4c1130][b]Punktrechnungen[/b][/color] genannt werden.[br][br][b][color=#ff0000]Das Wichtigste auf einen Blick[/color][/b][br][br][table][tr][td][/td][td][color=#0000ff][b]Multiplikation[/b][/color][/td][td][color=#ff7700][b]Division[/b][/color][/td][/tr][tr][td]Rechenzeichen [/td][td][math]\cdot[/math] mal [b][size=85](bitte kein x) [/size][/b][/td][td]: [math]\div[/math] 'geteilt durch' [b][size=85](auch Bruchstrich)[/size][/b][/td][/tr][tr][td]Ergebnis[/td][td][b]Produkt(wert) P[/b][/td][td][b]Quotient(enwert) Q[/b][/td][/tr][tr][td]Eigenschaften[/td][td][color=#00ff00]Faktoren [/color]vertauschbar[/td][td][color=#38761d][b]Dividend [/b][/color][b][size=50][color=#38761d](Zähler)[/color][/size][/b] und [b][color=#ff00ff]Divisor [size=50](Nenner)[/size][/color][/b] nicht vertauschbar[/td][/tr][tr][td]algebraische Darstellung[/td][td][color=#00ff00][b]f[sub]1[/sub][/b][/color] [math]\cdot[/math] [b][color=#00ff00]f[sub]2[/sub][/color][/b] = [b]P[/b][/td][td][color=#38761d][b]z [/b][/color]: [color=#ff00ff][b]n[/b][/color] = [b]Q[/b] auch [math]\frac{z}{n}=Q[/math][/td][/tr][/table]
Die Grundrechenarten mit Brüchen
[b][color=#4c1130]Punktrechnung[/color][/b][br]Für die Punktrechnung gelten zwei Regeln:[br][br]1. [b][color=#0000ff]Multiplikation[/color][/b][br]Zwei Brüche werden multipliziert, in dem jeweils die [color=#38761d][b]Zähler [/b][/color]und die [color=#ff00ff][b]Nenner[/b][/color] multipliziert werden![br][br][table][tr][td]Zahlenbeispiele[/td][td] allgemeine Darstellung[/td][/tr][tr][td][math]\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1\cdot3}{2\cdot4}=\frac{3}{8}[/math][/td][td][math]\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}[/math][br][/td][/tr][/table][br]2. [b][color=#ff7700]Division[/color][/b][br]Zwei Brüche werden dividiert, indem der Bruch [color=#38761d][b]DIVIDENT[/b][/color] mit dem Kehrwert des Bruches [b][color=#ff00ff]DIVISOR [/color][/b]multipliziert wird.[br]Als Kehrwert wird ein Bruch bezeichnet, bei der [color=#38761d][b]Zähler[/b][/color] zum [color=#ff00ff][b]Nenner[/b][/color] wird [b][u]und[/u][/b] der [color=#ff00ff][b]Nenner[/b][/color] zum [color=#38761d][b]Zähler[/b][/color].[br][br]Bruch: [math]\frac{3}{4}[/math] Kehrwert: [math]\frac{4}{3}[/math][br][br][table][tr][td]Zahlenbeispiele[/td][td] allgemeine Darstellung[/td][/tr][tr][td][math]\frac{1}{2}:\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}[/math][/td][td][math]\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}[/math][br][/td][/tr][/table][br][b][color=#b45f06]Strichrechnung[/color][/b][br][br]Für die Strichrechnung gilt nur eine einzige Regel:[br][br]Man kann Brüche nur [color=#0000ff]addieren[/color] oder [color=#ff7700]subtrahieren[/color], wenn der Nenner der [b][color=#0000ff]Summanden[/color][/b] oder vom [color=#38761d]B[/color][b][color=#38761d]ruch Minuend[/color] [/b]und [b][color=#ff00ff]Bruch Subtrahend[/color][/b] gleich sind.[br]Dann werden die [b][color=#38761d]Zähler[/color][/b] [color=#0000ff]addiert[/color] bzw. [color=#ff7700]subtrahiert[/color], und der [color=#ff00ff][b]Nenner[/b][/color] beibehalten.[br][br][table][tr][td][/td][td]Zahlenbeispiel[/td][td]allgemeine Darstellung[/td][/tr][tr][td][b][color=#0000ff]Addition[/color][/b][/td][td][math]\frac{2}{5}+\frac{2}{5}=\frac{2+2}{5}=\frac{4}{5}[/math][/td][td][math]\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}[/math][/td][/tr][tr][td][color=#ff7700][b]Subtraktion[/b][/color] [/td][td][math]\frac{1}{5}-\frac{3}{5}=\frac{1-3}{5}=\frac{-2}{5}=-\frac{2}{5}[/math][/td][td][math]\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}[/math]ist a < c wird der Bruch negativ [/td][/tr][/table][br][br]Doch was macht man, wenn die Zähler nicht gleich sind?[br]Brüche sind "Zauberzahlen", sie können sich verwandeln, ohne dass sich ihr Wert ändert. Die mathematische Zauberformel lautet [b]erweitern[/b], bzw. [b]kürzen[/b]. [br]Als erweitern bezeichnet man die [b]Zauberformel[/b]: [br][b][color=#38761d]Zähler[/color][/b] [b][size=150][u][color=#ff0000]und[/color][/u][/size][/b] [color=#ff00ff][b]Nenner[/b][/color] mit der gleichen Zahl [color=#0000ff]multiplizieren[/color].[br]Als kürzen bezeichnet man die [b]Zauberformel[/b]:[br][b][color=#38761d]Zähler[/color][/b] [b][size=150][u][color=#ff0000]und[/color][/u][/size][/b] [color=#ff00ff][b]Nenner[/b][/color] durch die gleiche Zahl zu [color=#ff7700]dividieren[/color].[br]Dafür benötigen Sie das 'Kleinen Einmaleins'.[br][br][table][tr][td][/td][td]Zahlenbeispiele[/td][td]allgemeine Darstellung[/td][/tr][tr][td]erweitern[/td][td][math]\frac{1}{3}+\frac{2}{5}=\frac{1\cdot5}{3\cdot5}+\frac{2\cdot3}{5\cdot3}=\frac{5}{15}+\frac{6}{15}=\frac{11}{15}[/math][/td][td][math]\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot d}+\frac{c\cdot b}{d\cdot b}=\frac{a\cdot d+c\cdot b}{b\cdot d}[/math][/td][/tr][tr][td]kürzen[/td][td][math]\frac{8}{15}-\frac{1}{5}=\frac{8}{15}-\frac{1\cdot3}{5\cdot3}=\frac{8-3}{15}=\frac{5}{15}=\frac{1\cdot5}{3\cdot5}=\frac{1}{3}[/math][/td][td][/td][/tr][/table][br]Das Wort [b]erweitern[/b] kommt daher, dass man [color=#38761d][b]Zähler[/b][/color] [b][color=#ff0000][u][size=150]und[/size][/u][/color][/b] [color=#ff00ff][b]Nenner[/b][/color] um einen [b]gemeinsamen[/b] [color=#0000ff]Faktor[/color] verlängert.[br]Das Wort [b]kürzen[/b] kommt daher, dass man [color=#38761d][b]Zähler[/b][/color] [b][color=#ff0000][u][size=150]und[/size][/u][/color][/b] [color=#ff00ff][b]Nenner[/b][/color] um einen [b]gemeinsamen[/b] [color=#0000ff]Faktor[/color] verkürzt.[br][br][b][color=#1155cc][url=https://www.geogebra.org/m/scnk8wbe#material/j9bmmyrx]Hier finden Sie ein Buch zum Üben![/url][/color][/b]
Rechenregeln
Beim Rechnen und beim Umformen gibt es einige Rechenregeln und Gesetze. [br]Das [b]Vertauschungsgesetz[/b] wurde schon bei den Grundrechenarten erwähnt, dort durften Sie bei der [color=#0000ff]Addition[/color] die [color=#00ff00]Summanden[/color] und bei der [color=#0000ff]Multiplikation[/color] die [color=#00ff00]Faktoren[/color] vertauschen, ohne auf irgendetwas aufzupassen. Das Vertauschungsgesetz heißt in der Mathematik Kommutativgesetz.[br][br]Bei der [b]Verknüpfung[/b] von zwei Rechenarten gibt es die Formulierung [b]Punkt vor Strich,[/b] die streng genommen kein Gesetz ist, aber eine internationale Vereinbarung. [br]Das nachfolgende Applet gibt Ihnen die Möglichkeit, sich noch einem mit diesem Aspekt zu beschäftigen und sich auch daran zu erinnern, dass Klammerregeln eine wichtige Rolle spielen[br][br]
Verknüpfung von zwei Rechenoperationen
Elementares Gleichungslösen
Das Lösen einer [b]linearen[/b] Gleichung geht immer -zumindest in der Schule- auch durch [b]probieren[/b].[br]Das folgende Arbeitsblatt zeigt einige Aufgaben dazu.[br]Mit dem darunterliegenden Applet können Sie 10 unterschiedliche Gleichungen durch probieren lösen, bzw. im Kopf lösen.
02_Grundlagen
Kopfrechenübung
Weiterführende Ideen
Überzeugen Sie sich durch geeignete Zahlenbeispiele, dass auch bei der Verknüpfung mit der Division die Reihenfolge der Rechenoperationen -[b]in der Regel[/b]- zu unterschiedlichen Ergebnissen führt.[br][br]Ihrer Aufmerksamkeit wird nicht entgangen sein, das in diesem Wiederholungskapitel die Formulierung -in der Regel- verwendet wird.[br]Vielleicht finden Sie heraus, wann -Mathematiker neben das den [b]Spezialfall[/b]- die Rechenoperationen auch bei Nichtbeachtung der Regel [i]'Punkt vor Strich'[/i] gleiche Ergebnisse liefert.
Äquivalenzumformung
Im zweiten Semester haben Sie die Begriffe:[br][b][size=150]Term [/size][/b] [b][size=150]Termumformung[/size][/b] [b][size=150]Gleichung[/size][/b] [b][size=150]Gleichungsumformung[/size][/b][br]kennen und anwenden gelernt.[br]Das Ziel bestand darin, dass Sie Gleichungen nicht durch probieren lösen, sondern mit den Hilfen der [b]Algebra[/b]. Algebra ist die Mathematik, in der statt Zahlen (Zahlsymbole) Buchstaben (Schriftsymbole) als [b]Platzhalter[/b] für Zahlen verwendet werden. Der bekannteste Buchstabe ist das x. [br]Was ist...[table][tr][td]... [b]ein Term[/b][/td][td]Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, in dem zwei Zahlen (oder Buchstaben mit einem Rechenzeichen verknüpft sind. Das Rechenzeichen bestimmt den Termnamen.[br]13 + 7 ==> Summenterm (auch s + t) 6 •7 (auch a•b) [br]12 - 5 ==> Differenzterm (auch c - d) 17 : 5 ==> Quotiententerm (auch (e : f), [math]\frac{e}{f}[/math][br][/td][/tr][tr][td]... [b]eine Termumformung[/b][/td][td]Bei Zahlen formen Sie einen Term schon um, wenn Sie den neuen Zahlenwert bestimmen:[br]13 + 7 ==> 20 6 •7 ==> 42 ...[br]Wenn Sie Buchstaben verwenden, dann können Sie bei der Strichrechnung nur gleich Buchstaben zusammenfassen. Bei der Punktrechnung alle Buchstaben.[br]a•b ==> ab ...[/td][/tr][tr][td][b]... eine Gleichung[/b][/td][td]Eine Gleichung vergleicht zwei Terme und verlangt die Überprüfung, ob die beiden Terme gleich sind. Man nennt eine Gleichung auch Aussage. Aussagen können wahr (w) oder falsch (f) sein. Sind sie gleich, ist die Aussage wahr, ist sie falsch ist die Aussage falsch.[br]13 + 7 = 20 (w) 6•7 = 41 (f)[/td][/tr][tr][td]... [b]eine Gleichungsuformung[/b][/td][td]13 + 7 = 20 <=== hier haben Sie die Gleichung umgeformt, und den Term durch einen einfacheren Term (1•20) ausgedrückt.[br]In der Regel benutzen Sie jedoch die Gleichungsumformung, um eine [b]Variable[/b] (meist x) zu bestimmen. [br][color=#0000ff][b]31 - x = 15 [/b][/color] | + x[br]31 -x + x = 15 +x <=> 31 + 0 = 15 + x <=> 31 = 15 + x[br][color=#0000ff][b]31 = 15 + x [/b][/color] | - 15[br][color=#0000ff][b]31 - 15 = x[/b][/color] <=> [u][b][color=#38761d]16 = x[/color][/b][/u][br]Dabei muss man immer auf [b]beiden Seiten[/b] des Gleichheitszeichens [b][color=#ff0000]dieselbe Operation[/color][/b] ausführen.[/td][/tr][/table]Die Hinweis auf die gleiche Operation rechtfertigt den Begriff [b][color=#ff0000]Äquivalenzumformung[/color][/b].[br]Das nachfolgende Applet zeigt das [b]Waagemodell,[/b] das Sie dann erinnern soll, wie Sie eine Gleichung lösen.[br]Sind auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens unterschiedliche Werte, so ist die Gleichung im Ungleichgewicht. Dann kann eine Seite größer als die andere Seite sein. In einem solchen Fall ist der Ausdruck eine [b][color=#ff00ff]Ungleichung.[/color][/b][br][b]Ungleichungen[/b] haben ein eigenes Zeichen:[br][b][size=150][color=#cc0000]<[/color][/size][/b] : die linke Seite vom Zeichen ist [b][color=#cc0000][size=150]kleiner als[/size][/color][/b] die rechte Seite (13 < 77)[br][b][size=150][color=#1c4587]>[/color][/size][/b] : die linke Seite vom Zeichen ist [b][color=#1c4587][size=150]größer als[/size][/color][/b] die rechte Seite (77 > 13)
Gleichung im Waagemodell
Das Koordinatensystem
Das Hauptwerkzeug im 3. Semester ist die Verwendung eines Koordinatensystems, um Funktionen grafisch darzustellen. Die Idee des sogenannten kartesischen Koordinatensystems (KOS) geht auf auf [url=https://de.m.wikipedia.org/wiki/René_Descartes]René Descartes[/url] zurück und ist somit aus dem aus dem 17. Jahrhundert.[br]Grob gesprochen handelt es sich um zwei Geraden, die senkrecht aufeinander stehen. Dadurch entstehen vier Felder, die - aufgrund von Symmetrieüberlegungen quadratisch sein müssen - als Quadranten bezeichnet werden.[br]Die waagerechte Achse kann man als RECHTSACHSE bezeichnen (richtig heißt sie ABSZISSE, was von 'abgeschnittener Linie' kommt, ZAHLENSTRAHL) und die senkrechte Achse kann man als HOCHACHSE (richtig heißt sie ORDINATE, was von ordnen, bzw. ZUORDNEN kommt)[br]Wichtiger als diese Namen, ist jedoch die Unterscheidung:[br][b][color=#ff0000]unabhängig[/color][/b], was bedeutet, Sie können hier frei Werte wählen[br]und [br][color=#0000ff][b]abhängig[/b][/color], was bedeutet, dass dieser Wert von einer [b]Definition[/b] (Funktionsterm) abhängt. [br]Prägen Sie sich das nachfolgende Bild gut ein. Sie können auch Punkte eintragen und sich anschauen, welche KOORDINATEN die Punkte haben. Der Schnittpunkt der Achsen wird in der Mathematik der URSPRUNG genannt, und hat die Koordinaten: O = (0|0)[br]Bei Anwendungsaufgaben muss das nicht so sein.
Allgemeine Koordinaten
[b]Allgemeine Koordinaten[/b] sind Koordinaten, die gleiche [b]Eigenschaften[/b] haben. Wenn Sie in der vorherigen Applikation den Punkt P auf der x - Achse platzieren, dann hat P die Koordinaten (0|x-Wert), wenn sie ihn auf der y-Achse platzieren die Koordinaten (y-Wert|0). [br]Punkte [b][color=#ff0000][u]auf[/u] der x-Achse[/color][/b] haben [b]immer [/b]die als y-Wert den Wert 0. ([color=#ff0000][b]Nullstelle[/b][/color])[br]Punkte [b][color=#0000ff][u]auf[/u] der y-Achse[/color][/b] haben [b]immer[/b] als x - Wert den Wert 0. ([color=#0000ff][b]Achsenabschnitt[/b][/color])[br]Damit wird deutlich, das Punkte im Koordinatensystem immer die allgemeine Form:[br] [b][size=200][center]P = ([color=#ff0000]x[/color]|[color=#0000ff]y[/color]) [/center][/size][/b][br]haben. [br]Sie dürfen also x und y niemals vertauschen. Das nachfolgende Applet zeigt Ihnen, was passiert, wenn Sie diese Regel nicht beachten.
Koordinatenspiel
Lösungsbild
Vergleichen Sie Ihre Zeichnung mit dem Bild![br]Verglichen Sie Ihre Koordinaten.
Linearen Funktionen an der ARS Bonn
Linearen Funktionen an der ARS Bonn
03_Treppen
03_Treppen
Dokumentation einer Pandemie
Zeitzeuge sein
Wie schon mehrfach erwähnt, werde Sie Zeitzeuge eines Ereignisses, dass und den Medien gerne - wen auch unzutreffend- mit dem 2. Weltkrieg verglichen wird.[br]Unzutreffend deshalb, weil der Krieg bewusst und vorsätzlich 'vom Zaun gebrochen' wurde, die Corona - Pandemie erwischte uns zwar nicht unvermittelt, aber doch sehr überraschend. Wenn Sie sich als Zeitzeuge verewigen wollen, dann hat Frau Dr. Ratke hier eine Vorlage erstellt, mit der Sie Ihrer Erlebnisse mit dieser Pandemie dokumentiert können. [br][br]Vorlage:[b][color=#0000ff][size=150] [url=http://dr-sharon-ratke.com/wp-content/uploads/2020/03/Tagebuch-Coronakrise.pdf]Zeitzeuge[/url][/size][/color][/b][br][br]Bedenken Sie, wenn Sie nichts dokumentieren, verstellt Ihnen die Rückschau den 'richtigen' Blick.[br][br]Dieses Kapitel wird nach der Krise auch ein Dokument sein, das für sich alleine im Internet bestehen bleibt. [br]Sie dürfen alle hier dargestellten Inhalte benutzen, kommentieren und verlinken.[br][br]Zeitzeuge sind Sie so oder so, die Frage bleibt, ob Sie sich nur 'erinnern' wollen, oder ob Sie Fakten und Empfindungen sammeln.[br][br]Ich wünsche, dass Sie gesund bleiben und ein Zeitzeuge werden, der sich nicht nur erinnert![br][br]Ihr W. Dutkowski
Funktionalen Betrachtung eines Quadrates
Das Quadrat
Ein Quadrat ist Ihnen bekannt, und eigentlich ist auch ein sehr langweiliges Objekt. Es eignet sich aber hervorragend, um den Unterschied zwischen einer einer linearen Funktion und quadratischen Funktion zu erkennen.[br]Bearbeiten Sie zunächst das folgende Arbeitsblatt, bevor Sie das Video anschauen.
Das Quadrat verallgemeinern
Umfang und Fläche funktional
Videodatei zum selber ausprobieren
Lösung zum Arbeitsblatt
Ausgewählte Modellierungen
Vorbemerkung
Ein Modell ist immer mit Vorsicht zu genießen, und man muss versuchen zu erkennen, wo reale Sachverhalte vernachlässigter sind. [br]Wenn Sie ein Modellauto in der Hand halten, wird es in der Regel nicht fahren können, aber sie werden erkennen können, ob es sich um ein Audi, Mercedes, VW oder sonstige Marke handelt. Deshalb ist bei Modelle immer wichtig zu hinterfragen: Was soll modelliert werden?[br]Dann muss das gewählte Modell diese Frage so genau wie möglich beantworten. Die dazugehörigen quadratischen Funktionsterme ergeben sich in der Regel aus der Beantwortung dieser Frage.
Modelle
[b]Funktionen[/b] eigen sich gut, [b]reale Sachverhalte[/b] zu [b][color=#ff0000]modellieren[/color][/b] und daraus Rückschlüsse zu ziehen. Sie sind im Jahr 2020 Zeugen geworden, wie man mit [b][color=#ff0000]Modellen[/color][/b] politische Entscheidungen rechtfertigte. [b][color=#0000ff]Quadratische Funktionen[/color][/b] eignen sich gut, auch etwas [b]komplexere[/b] Sachverhalte verständlich zu modellieren um das [b]Prinzip[/b] der [color=#ff7700][b]mathematischen[/b][/color] Modellbildung zu verstehen. [br]In dem [b][url=https://www.youtube.com/watch?v=94DdLRoVjqQ]Video Rechteck Maximus[/url] [/b]können Sie sich noch einmal ansehen, wie man mit Hilfe der Parabel erkennen kann, das ein Quadrat den größten Flächeninhalt aller Umfangsgleichen Rechtecke beschreibt. [br][br]Im Folgenden werden drei [b][color=#ff0000]klassische Modellbildung[/color][/b] mit [b][color=#0000ff]quadratischen Funktionen[/color][/b] vorgestellt, die in etwa die Anforderungen der ZP 10 widerspiegeln. [br]Im weitesten Sinne sind das alles sogenannte [b]EXTREMWERT-Aufgaben,[/b] die in der gymnasialen Oberstufe mit Hilfe der [b]Anaylsis[/b] gelöst werden. Die dynamischen Geometrieprogramme (hier: GeoGebra) bieten Ihnen die Möglichkeit, auf der [b][color=#ff7700]geometrischen Ebene [/color][/b]zu sinnvollen Lösungen zu kommen. [br][br]a) [b][size=150]Der Klassiker: Brückenbögen und Flächenmaximierung[/size][/b][br]Die Aufgabe des [b][color=#0000ff]Rechteck Maximus [/color][/b]lässt sich abwandeln, in dem man ein Rechteck mit einer natürlichen Absperrung (Hauswand, Felswand, Meer, ...) abteilt. Diese Form der Aufgabe gehörte schon zu meiner Mathematikausbildung an einer Hauptschule in Dortmund Aplerbeck. [br]Auch in der [b][color=#ff0000]Architektur[/color][/b] finden [color=#0000ff][b]Parabeln[/b][/color] immer wieder Beachtung, was auch schon in meiner Schulzeit thematisiert wurde, meistens am Beispiel der berühmten [b][color=#ff0000]Müngstener Brücke[/color][/b].[br][br]b) [b][size=150]Physik der Schwerkraft: Alles was nach oben geht kommt -[color=#ff7700]parabelförmig[/color]- zurück[/size][/b][br]Dazu gehören alle Ballspiele, alle Sprungsportarten, aber auch Wasserfontänen und Feuerwerk.[br][br]c) [b][size=150]Ökonomie: Preise fallen nicht vom Himmel[/size][/b][br]Ein wichtiges Thema ist -gesellschaftsbedingt- die Ökonomie, also der Zusammenhang von [br][b][color=#9900ff]Preisen - Waren- Umsätzen - Gewinnen[/color][/b]. [br]Auch hier kann man deutlich die Schlagkraft der quadratischen Modellierung erkennen. Die dazugehörige Aufgabe ist von Herrn Prof. Dr. Wolfgang Henn und Herrn Meyer, den ich für dieses Beispiel sehr dankbar bin. [br] [br][br]Damit sind die Möglichkeiten der Modellbildung nicht erschöpft, aber wenn Sie diese Beispiele inhaltlich und mathematisch verstanden haben, sollte Sie eine ZP 10 nicht mehr erschrecken. [br][br]
Der Klassiker:
07_Weideflaeche
08_Tierischer Hochsprung
Optimierung (Aufgabe aus: Mathematik Lehren, 134, 2006. Henn/Meyer: Eintrittsgelder und Pizzapreise, S. 18 – 21.)
Zinsen als Beispiel für Wachstum
02_Zinseszinsen
