Mou els punts per obtenir vectors equipol·lents

Suma i resta de vectors. Comparació amb la regle del paral·lelogram

Si vas fent els passos de la construccions, podràs comprovar com els vectors diagonals del paral·lelogram format amb els dos vectors equipol·lents als originals amb origen comú coincideixen amb el vector suma i el vector resta.

Un sistema d'equacions lineals de 3 equacions i 3 incògnites com el següent [math] \left.\begin{matrix}a + b +2c =10 \\ 2a + 3b-c=7\\ 6a-b=10\end{matrix}\right\} [/math] Es pot interpretar com a una combinació lineal de 3 vectors escrits en forma de columna [math] a\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 6 \end{pmatrix}+ b\begin{pmatrix} 1\\ 3\\ -1 \end{pmatrix}+ c\begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 10\\ 7\\ 10 \end{pmatrix}[/math] L'únic detall que cal tenir en compte en aquesta interpretació és que s'han utilitzat les lletres a, b i c com a incògnites en lloc de x,y, z per evitar confondre amb el nom dels eixos La construcció ens representa els 3 vectors en vermell, verd i lila i la seva combinació lineal en negre. El vector dels termes independents es representa en gris, quan l'equació estigui resolta i els valors d'a,b i c siguin solució llavors el vector negre coincidirà amb el gris

Aquesta representació proporciona una forma intuïtiva de visualitzar quan un sistema té solució (és compatible) o no (incompatible) i quan la solució és única (determinat) o n'hi ha més d'una (indeterminat) Modificant els valors dels vectors podem analitzar qualsevol sistema. Comencem però amb el que tenim ara entre mans. Fixa´t que els 3 vectors no estan sobre un mateix pla, això es pot veure numèricament calculant el determinant que en aquest cas val -47 [math]\Delta =\begin{vmatrix} 1 & 1& 2\\ 2 & 3 &-1 \\ 6& -1 & 0 \end{vmatrix}=-47[/math] El paral·lelepípede determinat pels 3 vectors té com a volum 47 (el valor absolut del determinant ). Si fossin coplanaris o colineals el volum fora 0. El fet que els 3 vectors columna no són coplanaris s'expresa dient que són linealment independents o que tenen rang 3. Es pot comprovar gràficament el fet que variant els coeficients a, b i c podem construir qualsevol vector de l'espai en particular el vector gris (10,7,10) Per trobar-los cal resoldre l'equació ;-) o bé, alternativament, tantejar la construcció de GeoGebra per si tenim sort de trobar-la. Comprova que amb a=2, b=2 i c=3 s'obté la solució.