La funzione [math]f(x)=\int_{0}^{x}{\left(cos\:\frac{t}{2} +\frac{1}{2} \right) dt}[/math] è definita per tutti i numeri reali [i]x[/i] appartenenti all'intervallo chiuso [math][0,9][/math][br]1. Si calcolino [math]f'(\pi)[/math] e [math]f'(2\pi)[/math], ove [math]f'[/math] indica la derivata di f[br]2. Si tracci, in un sistema di coordinate cartesiane, il grafico [math]\Sigma[/math] di [math]f'(x)[/math] e da esso si deduca per quale o quali valori di [i]x[/i] presenta massimi o minimi. Si tracci altresì l'andamento di [math]f(x)[/math], deducendolo da quello di [math]f'(x)[/math].[br]3. Si trovi il valor medio di [math]f'(x)[/math] sull'intervallo [math][0, 2\pi][/math][br]4. Sia R la regione del piano delimitata da [math]\Sigma[/math] e dall'asse [i]x[/i] per [math]0 \leq x \leq 4[/math]: R è la base di un solido W le cui sezioni con piani ortogonali all'asse [i]x[/i] hanno, per ciascun [i]x[/i], area [math]A(x)=3 sen \left ( \frac{\pi}{4} x \right)[/math]. Calcolare il volume di W.

Max=[math]\left( \frac{4}{3}\pi, \sqrt{3}+\frac{2}{3} \pi \right )[/math][br]min=[math]\left( \frac{8}{3}\pi, -\sqrt{3}+\frac{4}{3} \pi \right )[/math]