... von [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitten [/b][/i][/color][size=85]und anderen [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color][/size].[br][u][i][b]Grundeigenschaft:[/b][/i][/u] [br]Spiegelt man einen der [b][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/b] an den [color=#999999][b]doppeltberührenden[/b][/color] [color=#ff0000][b]Kreisen[/b][/color], so liegen [br]die Spiegelbilder auf einem zugehörigen [b][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/b] (oder der zugehörigen [color=#0000ff][b]Leitgeraden[/b])[/color]. [size=85][br]Zu jeder Symmetrie gehören [color=#999999][i][b]doppelt berührende[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color].[/size][size=85][br][color=#ff7700][i][b]Bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] mit 4 verschiedenen [color=#ff0000][i][b]konzyklischen[/b][/i][/color] [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] besitzen 4 paarweise [color=#0000ff][i][b]orthogonale[/b][/i][/color] [color=#BF9000][i][b]Symmetriekreise[/b][/i][/color] [br]und entsprechend sind jedem [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] 4 [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] zugeordnet![/size][br][size=85]Ist im rechten Applet [math]F_2=\infty[/math], so liegt eine [color=#ff7700][i][b]Parabel[/b][/i][/color] vor. Man kann das daran erkennen, dass der [color=#999999][i][b]doppelt berührende[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] [br]zur [color=#ff0000][i][b]Tangente[/b][/i][/color] wird. [br]Sonst erhält man je nach der Lage der [color=#0000ff][i][b]Leitgeraden[/b][/i][/color] (veränderbar durch Bewegen von [color=#1155Cc][b]L[/b][/color]) eine [color=#ff7700][i][b]Ellipse[/b][/i][/color] oder eine [color=#ff7700][i][b]Hyperbel[/b][/i][/color]. [br][color=#0000ff][i][b]Möbiusgeometrisch [/b][/i][/color]sind die [color=#ff0000][i][b]Tangenten[/b][/i][/color] [color=#999999][i][b]doppelt berührende[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color]: [math]\infty[/math] ist der 2.-te Berührpunkt (oder ein [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color])![/size]

[size=85][u][i][b]Übrigens:[/b][/i][/u] die [i]Leitkreise[/i] sind nicht identisch mit den [i]director circles[/i]: damit ist die Ortslinie der Punkte gemeint, [br]in welchen sich die Kegelschnitt-Tangenten orthogonal schneiden. Diese Kurve wird auch als [i][b]orthoptische[/b][/i] Kurve bezeichnet, [br]bei der Parabel stimmt sie mit der Leitgeraden überein.[br]Konfokale Ellipsen und Hyperbeln sind orthogonal, ihre Leitkreise bezüglich eines ausgewählten Brennpunkts [br]sind konzentrisch: der Mittelpunkt ist der andere Brennpunkt![br][br][size=50][right]Dieses Arbeitsblatt ist Teil des Geogebrabooks [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh]Kegelschnitt-Werkzeuge[/url][br]Diese Aktivität ist auch eine Seite des [color=#cc0000][i][b]geogebrabooks [/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/fzq79drp][color=#ff7700][u][i][b]Leitlinien und Brennpunkte[/b][/i][/u][/color][/url][color=#ff7700][u][i][b][/b][/i][/u][/color][/right][/size][/size]

[size=85]Die oben genannte [b]Grundeigenschaft[/b] ist ein [color=#0000ff][i][b]möbiusgeometrischer[/b][/i][/color] Sachverhalt: [br]diese Eigenschaft besitzen alle [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color], von den in 2 [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] zerfallenden [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] abgesehen.[br][color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color] und ihre [color=#0000ff][i][b]möbiustransformierten[/b][/i][/color] Bilder sind [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color].[br][b]2[/b]-teilige [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] besitzen [color=#cc0000][b]4[/b][/color] [color=#BF9000][i][b]Symmetriekreise[/b][/i][/color] und [color=#cc0000][b]4[/b][/color] [color=#ff0000][i][b]konzyklische[/b][/i][/color] [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color].[br]Zu jeder [color=#BF9000][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color] existiert eine Schar [color=#999999][i][b]doppelt-berührender[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color]. [br]Jede [b]2[/b]-teilige [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color] läßt sich mittels einer geeigneten [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color] wie oben darstellen.[br]Für die [math]x[/math]-[color=#BF9000][i][b]achsensymmetrischen[/b][/i][/color] [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] ist die [math]x[/math]-Achse selber der [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color] (bzw. die [color=#0000ff][i][b]Leitgerade[/b][/i][/color]).[br]Für die anderen [color=#BF9000][i][b]Symmetrieen[/b][/i][/color] kann man die [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color]-Eigenschaften im obigen Applet erkunden.[/size]