In questo capitolo arriveremo a scrivere le [b]equazioni che descrivono la trasformazione del punto P tramite una rotazione di centro C e angolo α[/b].[br]Per poter scrivere le equazioni abbiamo bisogno di introdurre un nuovo sistema di coordinate: le coordinate polari.

Le [b][url=https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_di_coordinate_polari]coordinate polari[/url] [/b]sono un sistema di coordinate nel piano della forma [i][math]\left(\rho,\vartheta\right)[/math][/i].[br]Ogni punto viene univocamente individuato da una coordinata radiale e una angolare, la prima rappresenta la distanza del punto da un punto fisso detto polo, la seconda identifica l'angolo che una semiretta a 0° deve spazzare in senso antiorario per sovrapporsi a quella che congiunge il punto al polo.[br]Un sistema di coordinte polari è in corrispondenza biunivoca con un sistema di coordinate cartesiane.[br][center][img]http://www.ce.unipr.it/~medici/geometry/fig_polar.png[/img][/center]

Partiamo dalla situazione più semplice: supponiamo che il [b]centro di rotazione C coincida con l'origine[/b]. [br]Consideriamo il punto P di coordinate cartesiane [i][math](x,y)[/math][/i] e di coordinate polari [i][math](r,β)[/math][/i].[br] si ha:[br][i][center][math]\begin{cases}[br]x=r\cdot cos(β)\\[br]y=r\cdot sin(β)[br]\end{cases}[/math][br][/center][/i]Consideriamo ora il punto P’, di coordinate [i][math](x’,y’)[/math][/i], immagine di P tramite una rotazione di centro l’origine e angolo [i]α[/i] orientato positivamente.[br]Le coordinate polari di P’ sono [i][math](r; β+α)[/math][/i] poichè la rotazione mantiene la distanza dal centro e l'angolo che la semiretta a 0° deve spazzare per sovrapporsi a quella che congiunge P' con C è pari alla coordinata angolare di P ([i][i]β[/i][/i]) più l'angolo di cui P' è ruotato rispetto a P ([i][i]α[/i][/i]) come puoi vedere dall'immagine sotto.[br][center][br][img]https://i.imgur.com/GGAqbWS.png[/img][br][/center][br]Per quanto appena detto quindi le coordinate cartesiane del punto P' sono:[br][br][i][center][math]\begin{cases}[br]x’=r\cdot cos(β+α)\\[br]y’=r\cdot sin(β+α)[br]\end{cases}[/math][br][br][/center][/i]Vogliamo evidenziare in che modo le coordinate di P' dipendono da quelle di P e dall'angolo di rotazione [i]α[/i].[br]Applichiamo le [url=http://www.youmath.it/formulari/65-formulari-di-trigonometria-logaritmi-esponenziali/159-identita-trigonometriche-formule-di-prostaferesi-formule-di-werner.html]formule trigonometriche[/url] e otteniamo:[br][br][i][center][math]\begin{cases}[br]x’=r\cdot cos(β+α)=r\cdot (cos(β)\cdot cos(α)-sin(β)\cdot sin(α))=x\cdot cos(α)-y\cdot sin(α) \\[br]y’=r\cdot sin(β+α)=r\cdot (sin(β)\cdot cos(α)+cos(β)\cdot sin(α))=y\cdot cos(α)+x\cdot sin(α)[br]\end{cases}[/math][br][/center][/i]Ora che abbiamo ricavato le equazioni osserva la costruzione sotto.

Per trovare le equazioni di una [b]generica rotazione di centro C e angolo [i]α[/i][/b] si procede componendo una traslazione di passo -C, che porti il punto C in O, una rotazione di centro O e angolo [i]α[/i] e una traslazione di passo C, che riporti O in C.[br][br]Segui i vari passaggi aiutandoti con la costruzione riportata sotto.

Siano [i][math](x_C,y_C)[/math][/i] e [i][math](x,y)[/math][/i] le coordinate del centro C e del punto P.[br] [br][b]Passo 1 - traslazione di vettore -OC[/b][br][br][i][center][math]\begin{cases}[br]x'=x-x_C\\[br]y'=y-y_C[br]\end{cases}[/math][/center][/i][b]Passo 2 - rotazione di centro O e angolo [i]α[/i][/b][br][br][i][center][math]\begin{cases}[br]x''=x'\cdot cos(α)-y'\cdot sin(α)=(x-x_C)\cdot cos(α)-(y-y_C)\cdot sin(α)\\[br]y''=x'\cdot sin(α)+y'\cdot cos(α)=(x-x_C)\cdot sin(α)+(y-y_C)\cdot cos(α)[br]\end{cases}[/math][br][/center][/i][b]Passo 3 - traslazione di vettore OC[/b][br][br][i][center][math]\begin{cases}[br]x'''=x''+x_C=(x-x_C)\cdot cos(α)-(y-y_C)\cdot sin(α)+x_C\\[br]y'''=y''+y_C=(x-x_C)\cdot sin(α)+(y-y_C)\cdot cos(α)+y_C[br]\end{cases}[/math][br][/center][/i]Il punto P', immagine di P tramite rotazione di centro generico C e angolo [i]α[/i], avrà coordinate [i][math](x''',y''')[/math][/i].