Note que: [math]sen\alpha=\frac{\parallel\vec{BE}\parallel}{\parallel\vec{AB}\parallel}[/math], assim : [math]\parallel\vec{BE}\parallel=\parallel\vec{AB}\parallel.sen\alpha[/math][br][br]Para calcular a área do paralelogramo vamos usar a lei dos senos:[br][center][math]S^2=\parallel\vec{AC}\parallel^2.\parallel\vec{AB}\parallel^2.sen^2\alpha[/math][br][math]S^2=\parallel\vec{AC}\parallel^2.\parallel\vec{AB}\parallel^2.\left(1-cos^2\alpha\right)[/math][br][math]S^2=\parallel\vec{AC}\parallel^2.\parallel\vec{AB}\parallel^2-\parallel\vec{AC}\parallel^2.\parallel\vec{AB}\parallel^2.cos^2\alpha[/math][br][math]S=\sqrt{\parallel\vec{AC}\parallel^2.\parallel\vec{AB}\parallel^2-\left\langle\vec{AB},\vec{AC}\right\rangle^2}[/math][br]Considerando as coordenadas dos vetores [math]\vec{AB}=\left(a,b\right)[/math] e [math]\vec{AC}=\left(c,d\right)[/math], temos:[br][math]S=\sqrt{\left(c^2+d^2\right).\left(a^2+b^2\right)-\left(ac+bd\right)^2}[/math][br][math]S=\sqrt{a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2-a^2c^2-2acbd-b^2d^2}[/math][br][math]S=\sqrt{a^2d^2-2abcd+b^2c^2}[/math][br][math]S=\sqrt{\left(ad-bc\right)^2}[/math][br][math]S=\mid ad-bc\mid[/math][br][/center]A área do paralelogramo é igual: