Il numero di Nepero
[color=#0a971e][b]Come nasce il numero di Nepero dallo studio delle funzioni esponenziali. ... E come evitarsi un bel po' di limiti con elementari trasformazioni geometriche.[/b][/color]
Table of Contents
- Le funzioni esponenziali
- Andamento di una funzione esponenziale
- Trasformazioni fondamentali su una funzione esponenziale
- Velocità di una funzione esponenziale in x=0
- velocità in un intervallo e velocità in un punto
- Funzione esponenziale passante per un punto dato
- Funzioni exp e ln
- Dalla retta y=1+x all'esponenziale ad essa tangente in (0,1)
- Dalla exp a ln (logaritmo naturale)
- L'esponenziale "stirata" exp(m·x), alias [exp(m)]ˣ
- Risolto il mistero della velocità di y=aˣ in x=0 !
- Via con le tangenti ! (ad aˣ, a logₐ(x)... e in ogni x)
Andamento di una funzione esponenziale
Andamento delle funzioni esponenziali
[b][size=150]La funzione verde che formula ha?[/size][/b]
[b][size=150]Qual è la relazione tra le formule della funzione verde e della funzione rossa?[/size][/b]
[b][size=150]La funzione y=a[sup]x[/sup] è decrescente quando:[/size][/b]
[b][size=150]Per quali valori di [i]a[/i] non esiste la funzione y=[i]a[/i][sup]x [/sup]?[/size][/b]
[b][size=150]Quale delle seguenti proposizioni è falsa ?[/size][/b]
velocità in un intervallo e velocità in un punto
[b][size=150]La funzione f(x)=a[sup]x[/sup] varia in genere (non lo varia solo per a=1) il suo valore al variare della x. Nell'intervallo [0,h] dell'asse delle ascisse essa varia da f(0)=1 a f(h)[b][size=150];[/size][/b][/size][size=150][size=150] quindi varia di[/size][/size][size=150] f(x+h)-f(x) con x=0, quindi di: f(h)-f(0). [br]La variazione dell'ascissa si indica in genere con Δx, quella dell'ordinata con Δy. Pertanto, siccome il primo estremo dell'intervallo è 0, si ha: [br]Δx=h-0=h e Δy=[/size][size=150][size=150]f(h)-f(0).[/size][/size][size=150][br][br]Il rapporto v(a,h) := [math]\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f\left(h\right)-f\left(0\right)}{h}=\frac{a^h-1}{h}[/math] è detto "velocità di crescita" di f nell'intervallo [0,h].[br]Il suo limite: v(a) := [/size][math]\lim_{h\to0}v(a,h)[/math][size=150][br]è detto "velocità istantanea" (o semplicemente "velocità") di f in x=0.[br][br]La necessità del limite per h→0 nasce dal fatto che (come puoi verificare agendo sullo slider h ponendolo al valore nullo) per h=0 tale rapporto perde di significato (diventerebbe 0/0). [/size][/b]
Come nasce il numero di Nepero
[b][size=150]Cliccando sul pulsante [h→0] passi da v(a,h) a v(a), se adesso aggiusti il valore di a in modo da avere v=1 otterrai come valore di a proprio un'approssimazione del numero di Nepero [i]e[/i].[br]Pertanto [i]e[/i] è la base della funzione esponenziale che in x=0 ha velocità pari a 1.[br]Che approssimazione ti appare come valore di a svolgendo i due passi (clic sul pulsante + aggiustamento di a fino ad avere v=1) ?[/size][/b]
[b][size=150]Come hai potuto notare ci sono diversi valori di approssimazione per il numero di Nepero.[br]Ciò dipende dal fatto che Geogebra non ha effettivamente potuto svolgere il limite per h che tende a 0 (si è limitatato ha porre h ad un valore piccolo, e precisamente 0.001) e dal fatto che ci vorrebbe un'espressione matematica che esprimesse effettivamente v(a) per poter poi procedere a risolvere l'equazione v(a)=1, sempre che tale risoluzione poi sia effettivamente possibile. [br]Alla fine di questa attività scoprirai che una tale funzione esiste, e si indica con ln(x); ossia si ha che v(a)=ln(a). [br]Tuttavia questa funzione "ln" (che ti preannuncio si chiama "logaritmo naturale") è proprio definita a partire dal numero di Nepero (o, più avanzatamente, tramite il calcolo integrale).[br]Pertanto non la si può trovare se non si è prima definito il numero [i]e[/i] stesso.[/size][/b]
Dalla retta y=1+x all'esponenziale ad essa tangente in (0,1)
[b][size=150]In figura il punto P varia sulla retta y=1+x.[br]puoi muovere il punto agendo sulla sua ascissa h (da slider).[br]infatti: P = ( h , 1+h ).[br]Quando h tande a 0 la funzione esponenziale passante per P [br]tende a y=[i]e[/i][sup]x[/sup] , dove:[br][br] [i]e[/i] = [math]\lim_{h \to 0} (1+h)^\frac{1}{h}[/math] = [math]\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n[/math][/size][/b]