Matemáquinas

José Antonio Mora Sánchez, hüseyin, Jun 6, 2018

Se presenta una colección de applets de java que simulan el funcionamiento de los mecanismos que se usan en la tecnología desde un punto de vista geométrico. Los veremos actuar en movimiento y podremos interactuar sobre ellos para modificar ciertas condiciones. El material está distribuido en nueve capítulos. En cada uno se han agrupado los mecanismos que utilizan un mismo esquema geométrico para transmitir el movimiento. Está basado en el trabajo de Brian Bolt Matemáquinas. La matemática que hay en la tecnología.

Table of Contents

  1. Gato elevador
    1. Triángulo de base variable
    2. Gato elevador
    3. Hamaca
    4. Puerta levadiza
  2. Máquina de vapor
    1. Máquina de vapor
    2. Máquina de vapor y función seno
    3. Cilindro giratorio
    4. El hinchador
    5. Máquina de coser a pedal
    6. Palanca acodada.
    7. El cubo de basura
  3. Brazo oscilatorio
    1. Brazo oscilatorio
    2. Cilindro giratorio
    3. Movimientos giratorio y oscilante
    4. Aspas
    5. Limadora
  4. Cilindro hidráulico
    1. Cilindro hidráulico
    2. Construcción de un cilindro hidráulico
    3. Construir el cilindro hidráulico
    4. Porta-contenedores-1
    5. Porta-contenedores-2
    6. Excavadora 2D (diagrama)
    7. Excavadora 2D. Simulación
    8. Excavadora 3d
  5. Palanca
    1. Palanca.
    2. Tijeras
    3. Cascanueces
    4. Frenos.
    5. Freno de bicicleta
    6. Freno hidráulico
    7. Prensa hidráulica
  6. Combinar dos triángulos
    1. Disco acoplado
    2. Dos triángulos de base variable
    3. Corredera variable
    4. Banco de carpintero
    5. Balancín 1.
    6. Balancín 2
    7. Motor de balancín
    8. Motor de doble recorrido
    9. Triángulos. Resumen
  7. Paralelogramo articulado
    1. Paralelogramo articulado
    2. Las ruedas del tren
    3. Ventana de hojas
    4. Balanza de platillos
    5. Caja de herramientas
    6. Pinzas extensibles
    7. Pantógrafo 1
    8. Pantógrafo 2
    9. Limpiaparabrisas
    10. Barquilla del alumbrado
    11. Libro móvil
    12. Elevador de tijera
  8. Cuadrilátero articulado
    1. Cuadrilátero articulado
    2. Montaje antiparalelo
    3. Trole ferroviario
    4. Agitador
    5. Movimiento de vaivén
    6. Alimentación intermitente
    7. Cierre automático de puerta
    8. Piernas del ciclista
    9. Sierra de marco
  9. Engranajes y correas de transmisión
    1. Transmisión directa
    2. Transmisión inversa
    3. Composición 4
    4. Juguete móvil
    5. Polipasto 2 polea
    6. Polipasto 3 poleas.
    7. Polipasto 4 poleas
    8. La bicicleta
  10. Bibliografía y agradecimientos

1.

Gato elevador

Está formado por tres barras articuladas que forman un triángulo, en el que la base es de longitud variable y los otros dos lados tienen longitud fija. Cuando alargamos o acortamos la base, hacemos que el tercer vértice se sitúe a distintas alturas:

  • 1. Triángulo de base variable
  • 2. Gato elevador
  • 3. Hamaca
  • 4. Puerta levadiza

1.1.

Triángulo de base variable

Triángulo articulado con dos lados de longitud fija AC y BC y otro variable AB. Se acciona al mover B sobre el segmento que hace de base. [br]Podemos observar la altura y la posición del vértice C. Hay dos trayectorias de ascenso-descenso que se producen, una de ellas tiene mayor inclinación, mientras la otra es más vertical, utilizaremos una u otra según las necesidades.
Con unas barras de longitudes fijas AC y BC. Da un procedimiento para determinar los extremos X e Y entre los que se mueve el punto C.
– José Antonio Mora Sánchez

1.2.

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1.3.

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1.4.

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2.

Máquina de vapor

Uno de los ejemplos tradicionales de la relación entre el movimiento de rotación con el desplazamiento en vaivén lo constituye el funcionamiento de la máquina de vapor. Aquí tenemos un triángulo con un lado de longitud variable: la biela consigue que el movimiento de un punto sobre una circunferencia se relacione con el movimiento a un émbolo que se mueve por el interior de un cilindro.

  • 1. Máquina de vapor
  • 2. Máquina de vapor y función seno
  • 3. Cilindro giratorio
  • 4. El hinchador
  • 5. Máquina de coser a pedal
  • 6. Palanca acodada.
  • 7. El cubo de basura

2.1.

Máquina de vapor

Las explosiones en el interior del cilindro hacen que el émbolo (y con él el punto B) se desplacen de izquierda a derecha con movimiento de ida y vuelta. La biela BC transfiere este movimiento de vaivén al punto C que está situado sobre una circunferencia de centro A con lo que lo convertimos en un movimiento de rotación que podrá hacer girar una rueda..
Si fijamos el radio de la circunferencia AC y la longitud de la biela, BC, ¿Cuál es la distancia más corta y la más larga entre A y B?
– José Antonio Mora Sánchez

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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2.6.

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2.7.

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3.

Brazo oscilatorio

El mecanismo de brazo oscilatorio se utiliza cuando se desea un movimiento de alimentación lenta y retroceso rápido. Tenemos una barra con un extremo fijo y un punto que se mueve sobre circunferencia nos indica su inclinación. El segmento adquiere un movimiento de vaivén con la característica de que tarda mucho más en realizar el trayecto de ida que el de vuelta. Cuanto más cerca se encuentre el punto fijo de la circunferencia, más acusada será esta diferencia.

  • 1. Brazo oscilatorio
  • 2. Cilindro giratorio
  • 3. Movimientos giratorio y oscilante
  • 4. Aspas
  • 5. Limadora

3.1.

Brazo oscilatorio

El punto B gira alrededor de A y solidariamente lleva consigo a la barra BC que está fija en C. [br]El movimiento giratorio se transforma en un movimiento de vaivén, con distinto tiempo para la ida que para la vuelta. [br]Se utiliza cuando se quiere una alimentación lenta y un retorno rápido.
Usa la aplicación y responde: [br]¿Que efecto tendrá en el movimiento si desplazamos C para acercarlo o alejarlo de la circunferencia?
– José Antonio Mora Sánchez

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

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4.

Cilindro hidráulico

El cilindro hidráulico que se utiliza en volquetes y excavadoras nos sugiere una nueva vía para abordar el triángulo de base variable. Ahora los puntos A y C serán fijos y queremos que la mayor o menor longitud de AB determine la dirección del segmento CB. La utilización del cilindro hidráulico como lado de longitud variable en un triángulo articulado es muy amplia en aquellas barras o plataformas que han de modificar su inclinación de acuerdo con nuestras necesidades, es el caso del brazo de la grúa. A veces puede ser conveniente combinar dos o más cilindros hidráulicos para conseguir el movimiento deseado como en el brazo articulado de la excavadora que está compuesta por dos barras articuladas, cada una con un cilindro hidráulico, para modificar su inclinación. Además, incorpora un tercer cilindro, para alterar el ángulo de la pala respecto de la barra a la que está sujeta. Con GeoGebra podemos gobernar cada uno de los cilindros hidráulicos de la excavadora por separado, como lo haría el operador en la cabina.

  • 1. Cilindro hidráulico
  • 2. Construcción de un cilindro hidráulico
  • 3. Construir el cilindro hidráulico
  • 4. Porta-contenedores-1
  • 5. Porta-contenedores-2
  • 6. Excavadora 2D (diagrama)
  • 7. Excavadora 2D. Simulación
  • 8. Excavadora 3d

4.1.

Cilindro hidráulico

En el triángulo ABC, DB es un tubo (émbolo) que puede salir del interior de otro cilindro AD hasta que los dos juntos AB lleguen a alcanzar el doble de longitud que AD.[br]Los segmentos AC y CB son fijos. La longitud de AB (AD+DB) determina la inclinación del segmento CB.
– José Antonio Mora Sánchez

4.2.

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4.3.

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4.4.

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4.5.

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4.6.

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4.7.

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4.8.

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5.

Palanca

Una barra AB que puede girar alrededor de un punto fijo O es una palanca. Su utilidad se sustenta en que las distancias recorridas por A y por B sobre los arcos, dependen únicamente de las longitudes OA y OB, porque tratamos con arcos de circunferencia trazados con ángulos iguales.

  • 1. Palanca.
  • 2. Tijeras
  • 3. Cascanueces
  • 4. Frenos.
  • 5. Freno de bicicleta
  • 6. Freno hidráulico
  • 7. Prensa hidráulica

5.1.

Palanca.

Una barra rígida que gira alrededor de un punto es una palanca. Los extremos describen arcos de circunferencia y la razón entre las distancias recorridas por B y C y lo será por tanto a las distancias AB y AC. [br]Una de las leyes fundamentales de la física consiste en que el trabajo mecánico (producto de la fuerza aplicada por la distancia recorrida por el punto) en cada extremo es el mismo. FB x DB = FC x DC . [br]De otra forma, FB / FC = DC / DB.
Usa la aplicación y responde:[br]1. Se atribuye a Arquímedes la siguiente cita: “Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo”. ¿Puedes explicar esta afirmación?[br]2. Estudia los factores de transmisión para distintas medidas de las barras. ¿De cuántas formas se puede conseguir un factor de transmisión 2, es decir, que la fuerza aplicada en C se duplique en C'.
– José Antonio Mora Sánchez

5.2.

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5.3.

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5.4.

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5.5.

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5.6.

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5.7.

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6.

Combinar dos triángulos

En esta sección se presentan algunos mecanismos que utilizan la combinación de dos triángulos, cada uno con un lado de longitud variable para transformar un movimiento en otro. En muchos casos se trata de convertir el movimiento de rotación de un punto (manivela), en el deslizamiento de otro, que se traslada según unas guías. Esta transformación se realiza con una barra articulada en sus extremos (biela). También tenemos ejemplos de la transformación de un movimiento de rotación en otro movimiento también de rotación en el mecanismo de disco acoplado de la combinación de dos mecanismos de brazo oscilatorio en el banco de carpintero. La mayoría de estos diseños están inspirados en el libro de I. Artobolevski [i]Mecanismos en la técnica moderna[/i] que contiene una exhaustiva relación de miles de mecanismos y bastantes de ellos se pueden traducir a los diseños de Cabri-Geomètre.

  • 1. Disco acoplado
  • 2. Dos triángulos de base variable
  • 3. Corredera variable
  • 4. Banco de carpintero
  • 5. Balancín 1.
  • 6. Balancín 2
  • 7. Motor de balancín
  • 8. Motor de doble recorrido
  • 9. Triángulos. Resumen

6.1.

Disco acoplado

P impulsa el movimiento de la biela PQ.
Usa la aplicación y responde:[br][br]El triángulo APC tiene un lado de longitud variable, ¿a cuál de los modelos se parece: al gato elevador, a la máquina de vapor, al brazo oscilatorio o al cilindro hidráulico?[br][br]¿Qué lados son fijos y cuáles son variables en BQC?[br][br]¿En qué zonas gira más rápido el punto Q en el disco de la derecha?
– José Antonio Mora Sánchez

6.2.

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6.3.

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6.4.

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6.5.

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6.6.

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6.7.

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6.8.

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6.9.

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7.

Paralelogramo articulado

El paralelogramo es el cuadrilátero que tiene las varillas opuestas de la misma longitud. Lo utilizamos cuando queremos que se mantenga el paralelismo en diversas partes del sistema. Tenemos un ejemplo en la balanza, en la que es necesario que los platillos siempre se mantengan horizontales, para que no caigan los objetos que depositamos en ellos.

  • 1. Paralelogramo articulado
  • 2. Las ruedas del tren
  • 3. Ventana de hojas
  • 4. Balanza de platillos
  • 5. Caja de herramientas
  • 6. Pinzas extensibles
  • 7. Pantógrafo 1
  • 8. Pantógrafo 2
  • 9. Limpiaparabrisas
  • 10. Barquilla del alumbrado
  • 11. Libro móvil
  • 12. Elevador de tijera

7.1.

Paralelogramo articulado

Es sencillo construir un paralelogramo articulado con cuatro varillas que tienen la misma longitud dos a dos.[br][br]Para que un triángulo tenga elementos móviles, es necesario que podamos modificar uno de sus lados (el triángulo es rígido), Por el contrario, un cuadrilátero es siempre flexible: con unas longitudes para las barras, el cuadrilátero se puede deformar.
Usa la aplicación y responde:[br][br]Tenemos un paralelogramo articulado ABCD con el segmento AB fijado de forma que ni A ni B se pueden mover. Describe con palabras la trayectoria de los puntos C y D.[br][br]Construye un paralelogramo articulado con cuatro varillas que tienen la misma longitud dos a dos.
– José Antonio Mora Sánchez

7.2.

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7.3.

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7.4.

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7.5.

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7.7.

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7.8.

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7.9.

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7.10.

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7.11.

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7.12.

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8.

Cuadrilátero articulado

El cuadrilátero articulado está formado por cuatro varillas de distinta longitud unidas por sus extremos. Suele tener un segmento fijo -bastidor-, y el resto de las varillas son móviles. Se utiliza para transformar un movimiento de rotación en otro de vaivén, y al contrario.

  • 1. Cuadrilátero articulado
  • 2. Montaje antiparalelo
  • 3. Trole ferroviario
  • 4. Agitador
  • 5. Movimiento de vaivén
  • 6. Alimentación intermitente
  • 7. Cierre automático de puerta
  • 8. Piernas del ciclista
  • 9. Sierra de marco

8.1.

Cuadrilátero articulado

El objetivo de una articulación es convertir un movimiento en otro. Tenemos un punto que se desplaza en unas determinadas condiciones y lo queremos transformar en un movimiento distinto de otro punto.[br][br]En este primer caso el punto A es fijo, B puede girar alrededor de A y C alrededor de B. La aplicación determina la posición de D con las longitudes que se han declarado en la ventana izquierda. Podemos modificar la posición de B con el puntero del ratón y C girará alrededor de B al activar la Animación.[br][br]Cuando activas Lugar geométrico, la parte de la circunferencia donde está situado el punto D se resalta con trazo contínuo. De esa forma se informa de las posiciones de D para las que ese cuadrilátero existirá. En la región de la circunferencia de trazo discontinuo no se podrá construir el cuadrilátero articulado con esas longitudes. [br][br]Al activar Animación el punto D deja rastro a su paso (hay un botón para limpiar los rastros) y verás que en algunos momentos ciertas barras desaparecen. Ocurre cuando las condiciones que se plantean (posición de los vértices y longitud de las barras), hacen imposible la construcción.
Usa la aplicación y responde:[br][br]1. Toma cuatro varillas de diferentes longitudes y estudia cuándo se puede construir un cuadrilátero articulado con ellas. Intenta establecer reglas generales que digan qué condiciones deben cumplir las barras.[br][br]2. Comprueba la regla de Grashof (1833). “Si la longitud total de los largueros mayor y menor es menor o igual que la suma de las longitudes de las dos barras restantes, el enlace más corto puede realizar revoluciones".
– José Antonio Mora Sánchez

8.2.

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8.3.

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8.4.

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8.5.

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8.6.

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8.7.

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8.8.

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8.9.

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9.

Engranajes y correas de transmisión

La utilización de engranajes y ruedas dentadas tiene más de dos mil años. En el siglo XV Leonardo da Vinci realizó diseños de engranajes y un prototipo de bicicleta. Actualmente engranajes y correas de transmisión están presentes en muchas actividades: poleas y polipastos para elevar cargas pesadas, y en todo tipo de sistemas para el cambio de marchas, que facilite la transmisión del movimiento. Se han realizado cuatro diseños de transmisión con correas de complejidad creciente y la aplicación de las ruedas a un coche de juguete. Más adelante se introduce el problema de la elevación de pesos mediante poleas y polipastos que facilitan el traslado de cargas pesadas. Por último, se muestran el diseño de la transmisión en la bicicleta en las que el cambio de marchas se hace de forma continua: mediante el aumento o disminución de los radios del plato y del piñón.

  • 1. Transmisión directa
  • 2. Transmisión inversa
  • 3. Composición 4
  • 4. Juguete móvil
  • 5. Polipasto 2 polea
  • 6. Polipasto 3 poleas.
  • 7. Polipasto 4 poleas
  • 8. La bicicleta

9.1.

Transmisión directa

La rotación de A en la rueda roja alrededor de O provoca el movimiento de B en la rueda azul que está conectada por una correa.[br][br]El factor de transmisión se calcula con OA/PB, es decir, cada vez que la rueda grande dé una vuelta completa, la pequeña dará OA/PB vueltas.
Usa la aplicación y responde:[br][br]1. Explica cómo se puede conseguir el mayor factor de transmisión y el menor.[br][br]2. A veces, al tender una correa plana entre dos poleas, se hace que forme una banda de Moebius, Investiga este tipo de correas y explica la mejora que supone respecto de una cinta normal.
– José Antonio Mora Sánchez

9.2.

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9.3.

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9.4.

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9.5.

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9.6.

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9.7.

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9.8.

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10.

Bibliografía y agradecimientos

Bibliografía. Achón i Massana, J. El mecano: un recurs pedagògic. (Dossiers Rosa Sensat núm 19: Barcelona) Artobolevsky I.I. (1979). Mecanismos en la técnica moderna. (6 vol.). Mir: Moscú Bolt, A. B. y Hiscocks (1970). Machines, mechanims and mathematics. Mathematics for the Majority Project. Chatto & Windus. The School Council. London. Bolt, B. (1992). Matemáquinas. La matemática que hay en la teconología. Labor: Barcelona. Crawforth, D. (1988). ¿Qué es un cuadrilátero?. (En Walter M. ed. Geometry. M.E.C.: Madrid). Cundy, H. M. et Rollet, A. P. (1978). Modèles mathematiques. CEDIC:Paris D’Arcy Thompson. (1980). Sobre el crecimiento y la forma. Ed. Blume. Madrid. Kozhevnikov, S.N. Mecanismos. Gustavo Gili. Barcelona. Mora, J.A. (1996). Máquinas y matemáticas. Actas del 8º I.C.M.E. Sevilla Mora, J.A. (1997). De la calle al ordenador. Revista Aula de Innovación Educativa, núm. 58. Enero de 1997 pp. 20-21. Mora, J.A. (1998). Matemáticas con Cabri-Geomètre II. Proyecto Sur. Granada. O’Daffer P. Y Clemens S. (1977). Geometry: an investigative approach. Addyson-Wesley: California. Williams, C. (1984). Los orígenes de la forma. Gustavo Gili. Barcelona Otros materiales utilizados: J.C.B. Maquinaria. Valencia Joal Compact. Juguetes y Herrajes. Ibi. Alicante Albert Lucas, R. Museo del Cáñamo de Callosa de Segura. Alicante. Direcciones de internet consultadas: Leonardo da Vinci. La bicicleta e l’automobile. Studio del Professore Augusto Marinoni. http://rcl.nemo.it/reteciv/cultura/arte/leon/indice.htm Museo Leonardiano di Vinci. http://www.leonet.it/comuni/vincimus/invimus.html Colaboradores. Me gustaría agradecer la colaboración de un grupo de amigos y compañeros que han compartido conmigo esta aventura de Los Mecanismos: Han comentado las notas, han participado en la propuesta y resolución de los problemas han ido surgiendo durante estos años, han colaborado en la elaboración de los mecanismos y han sugerido nuevos artilugios: María Teresa Gómez, Ignacio Baeza, Francisco Jesús García, Salvador Caballero, Floreal Gracia, Fernando Juan, Alfred Mollà, Onofre Monzó,Pascual Pérez, Tomás Queralt, Julio Rodrigo, Bartolomé Sintes, José Manuel Arranz, Manuel Sada, Rafael Losada, José Luis Álvarez, Antonio Pérez y Tomás Recio.


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