Függvényvizsgálat kalkulussal 8.
Legyen [math]f[/math] a [math][-1[/math]; [math]1][/math] intervallumon értelmezett [math]f\left(x\right)=x\sqrt{1-x^2}[/math] függvény. Vizsgáld meg az [math]f [/math] függvényt! Használhatod a görbe egy mozgatható [math]P[/math] pontját, a [math]P[/math]-beli érintőt, illetve az [math]f [/math] függvény első és második deriváltfüggvényét is. Figyeld meg, hogy van-e bármiféle kapcsolat az [math]f [/math] függvény grafikonja, a deriváltak és az érintő között!
1. feladat
Határozd meg a valós számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amelyen a fenti kifejezés értelmezhető!
2. feladat
Állapítsd meg a pont mozgatásával a függvény értékkészletét!
3. feladat
Van-e a függvénynek zérushelye?
4. feladat
Van-e a függvénynek maximuma, illetve minimuma. Mennyi az értékük, és hol veszi fel ezeket?
5. feladat
Állapítsd meg a függvény paritását!
6. feladat
Hol vannak a függvények inflexiós pontjai?
7. feladat
Válassz egy tetszőleges [math]P[/math] pontot az [math]f[/math] függvény grafikonján, és kapcsold be a [math]P[/math]-beli érintő funkciót! Figyeld meg, hogyan változik az érintő, ha a pontod mozgatod! Találtál-e összefüggést az érintő állása, a meredeksége (nem számszerűen) és valamelyik elemzési szempont között?[br]Ha igen, akkor melyikkel?
8. feladat
Kapcsold be a [math]f[/math] függvény első deriváltfüggvényét! [br]
9. feladat
Látsz-e összefüggést a derivált és az eredeti függvény valamely tulajdonsága között? (Könnyebben rájössz, ha mozgatod a pontot!)[br]
10. feladat
Kapcsold be az [math]f[/math] függvény második deriváltfüggvényét!
11. feladat
Látsz-e összefüggést a második derivált és az [math]f[/math] függvény között?[br](Könnyebben rájössz, ha mozgatod a pontot!)