Johannes Faulhaber (1580 - 1635) verdanken wir eine höchst erstaunliche Entdeckung: Der wohlbekannte Satz des Pythagoras besitzt eine Entsprechung im Raum. [br]Im folgenden Applet kann man sich davon überzeugen, dass es in einer Dreieckspyramide eine einfache Beziehung zwischen den Flächeninhalten der 4 Dreiecksseiten gibt. Voraussetzung ist, dass drei der vier Dreiecke rechtwinklig aufeinander stoßen.
Mit den Bezeichnungen [math]a=\left|\vec{OA}\right|[/math], [math]b=\left|\vec{OB}\right|[/math] und [math]c=\left|\vec{OC}\right|[/math] gilt für die Inhalte der drei rechtwinkligen Dreiecke (man könnte sie etwas flapsig als "Kathetendreiecke" bezeichnen): [math]A_{OAB}=\frac{a\cdot b}{2}[/math], [math]A_{OAC}=\frac{a\cdot c}{2}[/math] und [math]A_{OBC}=\frac{b\cdot c}{2}[/math].[br]Für das vierte Dreieck ("Hypotenusendreieck") gilt: [math]A_{ABC}=\frac{\left|\vec{BC}\times\vec{BA}\right|}{2}=\frac{\sqrt{\left(ab\right)^2+\left(ac\right)^2+\left(bc\right)^2}}{2}[/math].[br]Daraus folgt sofort: [math]A_{OAB}^2+A_{OAC}^2+A_{OBC}^2=A_{ABC}^2[/math]
Zeige durch Angabe eines Gegenbeispiels, dass die Umkehrung des Satzes im Allgemeinen nicht gilt.
Beweise die Aussage für den Fall [math]\text{a = b = c}[/math] "elementar", also ohne Vektorprodukt.
Die drei Kathetendreiecke haben jeweils den Inhalt [math]A=\frac{a^2}{2}[/math].[br]Das Hypotenusendreieck hat eine Grundseite der Länge [math]a\cdot\sqrt{2}[/math] und eine Höhe der Länge [math]\sqrt{\frac{3}{2}\cdot a^2}[/math], also einen Inhalt von [math]\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot a^2[/math]. Daraus folgt sofort die Behauptung.
Untersuche weitere Dreieckspyramiden, die von mindestens drei rechtwinkligen Dreiecken begrenzt werden, auf ähnliche Zusammenhänge.