[justify][size=100]Sobre a interpretação geométrica de derivadas parciais, Stewart (2010), traz que uma das ideias mais principais em cálculo de funções de uma variável é que “à medida que damos zoom em torno de um ponto no gráfico de uma função diferenciável, esse gráfico vai se tornando indistinguível de sua reta tangente, e podemos aproximar a função por uma função linear. ” (STEWART, 2010, p. 848). Uma ideia semelhante pode ser desenvolvida para o ambiente tridimensional:[/size][/justify]

[size=85][justify][/justify][/size][size=85][justify]À medida que damos zoom em torno de um ponto na sua superfície que é o gráfico de uma função diferenciável de duas variáveis, essa superfície parece mais e mais com um plano (seu plano tangente) e podemos aproximar a função, nas proximidades do ponto, por uma função linear de duas variáveis.(STEWART, 2010, p. 848).[/justify][/size]

[justify][size=85][/size][/justify][justify][size=100]O próprio GeoGebra oferece a ferramenta de zoom. Na figura 1 podemos observar um plano tangente à um paraboloide e dando um zoom no gráfico podemos ver que perto do ponto o paraboloide pode ser aproximado por um plano.[/size][/justify][size=100][justify][size=85][/size][/justify][/size]

[justify][size=100]Para dar uma interpretação geométrica para as derivadas parciais, recordemos que a equação [math]z = f \left( x , y \right) [/math]representa uma superfície [math]S [/math]. Se [math]f\left(x_0,y_0\right)=z_0[/math], então o ponto [math]P \left( x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) [/math] pertence a [math]S [/math]. Fixando o plano [math]y = y_{0}[/math], nos concentramos na curva [math]C_{1}[/math], na qual o plano vertical [math]y = y_{0}[/math] intercepta [math]S [/math]. (Isto é, é a curva de interseção de [math]S   [/math] com o plano [math]y=y_0[/math].) Semelhantemente, o plano vertical [math]x=x_0[/math] intercepta [math]S[/math] na curva [math]C_2[/math]. As curvas [math]C_1[/math] e [math]C_2[/math] passam pelo ponto [math]P[/math]. Observe que a curva [math]C_1[/math] é o gráfico da função [math]g\left(x\right)=f\left(x,y_0\right)[/math], de modo que a inclinação da tangente [math]T_1[/math] em [math]P[/math] é [math]g'\left(x_0\right)=f_x\left(x_0,y_0\right)[/math]. A curva [math]C_2[/math] é o gráfico da função [math]G\left(y\right)=f\left(x_0,y\right)[/math] assim a inclinação da tangente [math]T_2[/math] em [math]P[/math] é [math]G'\left(y_0\right)=f_y\left(x_0,y_0\right)[/math]. A Figura 2 ilustra as curvas de interseção [math]C_1[/math] e [math]C_2[/math], bem como as retas tangentes ([math]T_1[/math] e [math]T_2[/math]) à essas curvas.[/size][/justify]

[justify][size=100]Suponha que a superfície [i]S[/i] tenha equação [math]z =     f \left( x , y \right) [/math], sendo que [math]f [/math] tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas, e seja [math]P \left( x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) [/math] um ponto em [math]S [/math]. Como dito anteriormente, sejam [math]C_{1}[/math] e [math]C_{2}[/math] curvas obtidas pela intersecção de [math]S [/math] com os planos verticais [math]y = y_{0}[/math] e [math]x = x_{0}[/math]. O ponto [math]P [/math] pertence à interseção de [math]C_1[/math] com [math]C_2[/math]. Sejam [math]T_1[/math] e [math]T_2[/math] as retas tangentes às curvas [math]C_1[/math] e [math]C_2[/math] no ponto [math]P[/math]. Então, o [b]plano tangente[/b] à superfície [math]S[/math] no ponto [math]P[/math] é definido como plano que contém as duas retas tangentes [math]T_1[/math] e [math]T_2[/math]. A Figura 3 mostra um plano tangente à uma superfície.[/size][/justify]

[justify][size=100]Se [math]C [/math] é uma nova curva qualquer que esteja contida na superfície [math]S [/math] e que passe pelo ponto [math]P [/math], então sua reta tangente no ponto [math]P [/math] também pertence ao plano tangente. Por isso, podemos pensar no plano tangente a [math]S [/math] em [math]P [/math] como o plano que contém todas as retas tangentes as curvas contidas em [math]S [/math] que passam pelo ponto [math]P [/math]. O plano tangente em [math]P   [/math] é o plano que melhor aproxima a superfície [math]S [/math] perto do ponto [math]P[/math] , desde que a superfície seja diferenciável.[br][br]Qualquer plano passando pelo ponto [math]P \left( x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) [/math] tem equação da forma:[br][br][math]A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+C\left(z-z_0\right)=0[/math].[br][br]Dividindo essa equação por [math]C[/math] e tomando [math]a = - A / C [/math] e [math]b = - B / C [/math], podemos escrevê-la como[br][br][math]z-z_0=a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)[/math] [1].[br][br]Se a Equação 1 representa o plano tangente em [math]P [/math], sua intersecção com o plano [math]y = y_{0}[/math] precisar ser a reta [math]T_{1}[/math]. Tomando [math]y = y_{0}[/math] na equação 1, obtemos [math]\left\{\begin{matrix}[br]z-z_0=a(x-x_0)\\ [br]y=y_0 [br]\end{matrix}\right.[/math] , que reconhecemos com a equação da reta (na forma de ponto, inclinação) com inclinação [math]a [/math]. E de derivadas parciais sabemos que a inclinação de [math]T_{1}[/math] é [math]f_{x}\left( x_{0}, y_{0}\right) [/math]. Desse modo, [math]a = f_{x}\left( x_{0}, y_{0}\right) [/math]. [br][br]De modo semelhante, impondo [math]x = x_{0}[/math] na equação 1, obtemos [math]\left\{\begin{matrix}[br]z-z_0=b(x-x_0)\\ [br]x=x_0 [br]\end{matrix}\right.[/math], que precisa representar a reta tangente [math]T_{2}[/math], logo [math]b = f_{y}\left( x_{0}, y_{0}\right) [/math].[br][br]Suponha que [math]f [/math] tenha derivadas parciais contínuas. Uma equação do plano tangente à superfície [math]z = f \left( x , y \right) [/math] no ponto [math]P \left( x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) [/math] é dada por[/size][/justify][math]z-z_0=f_x\left(x_0,y_0\right)\left(x-x_0\right)+f_y\left(x_0,y_0\right)\left(y-y_0\right)[/math].

[size=85]STEWART, James. [b]Cálculo.[/b] 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010. v. 2.[/size]

[size=85][url=http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/][img]https://i.creativecommons.org/l/by-nc/4.0/88x31.png[/img][/url][br]Este trabalho está licenciado com uma Licença [url=http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/]Creative Commons - Atribuição-NãoComercial 4.0 Internacional[/url].[/size]