Les racines carrées de tous les entiers qui ne sont pas des carrés parfaits (1, 4, 9, 16, 25, 36...) ne sont pas des nombres rationnels.

Considérons un nombre [math]n[/math] dont la racine carrée n'est pas un nombre entier.[br][br]Supposons que [math]\sqrt{n}[/math] soit un nombre rationnel, c'est à dire qu'il existe une fraction irréductible [math]\sqrt{n}=\frac{p}{q}[/math].[br][br][math]p[/math] et [math]q[/math] sont donc des nombres entiers qui n'ont pas de diviseurs communs.[br][br][math]\sqrt{n}=\frac{p}{q}[/math], nous avons donc [math]\sqrt{n}\times q=p[/math][br]Et donc : [math]n q^2=p^2[/math][br][br][math]p^2[/math] est donc un multiple de [math]n[/math] et donc, comme [math]p[/math] est un nombre entier, un multiple de [math]n^2[/math].[br][br][math]p[/math] est donc un multiple de [math]n[/math], nous avons donc [math]p=n k[/math] où [math]k[/math] est le nombre entier tel que [math]k=\dfrac{p}{n}[/math].[br][br]Nous avons donc [math]n q^2=p^2=n^2k^2[/math] et donc [math]q^2=n k^2[/math].[br][br][math]q^2[/math] est donc un multiple de [math]n[/math] et donc, comme [math]q[/math] est un nombre entier, un multiple de [math]n^2[/math].[br][br][math]q[/math] est donc un multiple de [math]n[/math] comme [math]p[/math]. [br][br]Nous en déduisons donc que [math]\sqrt{n}=\frac{p}{q}[/math] n'est pas une fraction irréductible car elle peut être simplifiée par [math]n[/math], ce qui est en contradiction avec notre hypothèse de départ.[br][br][math]\sqrt{n}[/math] ne peut donc pas s'écrire sous forme de fraction, ça n'est pas un nombre rationnel.