Analiza matematyczna II

Mateusz Maciejewski, Oct 8, 2015

Table of Contents

  1. funkcje wielu zmiennych
    1. poziomica funkcji
    2. poziomice funkcji
  2. Zbieżność jednostajna ciągów funkcyjnych
    1. norma jednostajna funkcji
    2. jednostajna zbieżność 1
    3. jednostajna zbieżność 2
    4. jednostajna zbieżność 3
    5. jednostajna zbieżność 4
    6. jednostajna zbieżność 5
  3. Zbieżność szeregów funkcyjnych
    1. Szereg funkcyjny (potęgowy)
    2. Szereg funkcyjny (potęgowy)
    3. Szereg funkcyjny (potęgowy)
  4. Szeregi Fouriera
    1. Szereg Fouriera (sygnał prostokątny)
    2. Szereg Fouriera (sygnał trójkątny)
    3. Szereg Fouriera (sygnał piłowy)
    4. Szereg Fouriera (f(x)=x^2)
  5. Funkcje uwikłane
    1. Funkcje uwikłane
  6. Ekstrema warunkowe
    1. Metoda mnożników Lagrange'a
    2. Parametryzacja a ekstrema warunkowe
  7. parametryzacje
    1. parametryzacja biegunowa
    2. rzut stereograficzny
    3. parametryzacja sferyczna

1.

funkcje wielu zmiennych

  • 1. poziomica funkcji
  • 2. poziomice funkcji

1.1.

poziomica funkcji

Materiał przybliża pojęcie poziomicy funkcji oraz gradientu.

Po każdej zmianie położenia punktu na płaszczyźnie, kreślona jest poziomica funkcji [math]x^2-y^2[/math] przechodząca przez ten punkt oraz gradient funkcji w tym punkcie. Widać, że zawsze gradient jest prostopadły do poziomicy i jest tym dłuższy, im poziomice ułożone są gęściej. Kierunek gradientu wskazuje największe nachylenie wykresu funkcji (w stronę ciemniejszego koloru obrazującego większe wartości). Proszę zauważyć, że w punkcie (0,0), gdzie poziomica się rozgałęzia, gradient wynosi (0,0).
– Mateusz Maciejewski

1.2.

–

2.

Zbieżność jednostajna ciągów funkcyjnych

  • 1. norma jednostajna funkcji
  • 2. jednostajna zbieżność 1
  • 3. jednostajna zbieżność 2
  • 4. jednostajna zbieżność 3
  • 5. jednostajna zbieżność 4
  • 6. jednostajna zbieżność 5

2.1.

norma jednostajna funkcji

Materiał ma na celu wytłumaczyć pojęcie normy jednostajnej [math]\|\cdot\|=\|\cdot\|_\infty[/math], które jest istotne przy badaniu zbieżności jednostajnej ciągów i szeregów funkcyjnych. Interpretacja geometryczna jest następująca: odległość funkcji f od g jest mniejsza niż [math]\varepsilon[/math], jeśli wykres funkcji f zawiera się w tak zwanym (potocznie) epsilonowym pasku wokół wykresu funkcji g, czyli zbiorze [math]\{(x,y)\ |\ g(x)-\varepsilon<y<g(x)+\varepsilon\}[/math] (zbiór ten zaznaczony poprzez zacieniowanie)

Zmieniając parametry funkcji f (współczynniki a i b), funkcji g (współczynnik A oraz pierwiastki [math]x_1,x_2[/math] na osi OX) oraz parametr [math]\varepsilon[/math], dostrzec, kiedy [math]\|f-g\|<\varepsilon[/math].
– Mateusz Maciejewski

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

2.6.

–

3.

Zbieżność szeregów funkcyjnych

  • 1. Szereg funkcyjny (potęgowy)
  • 2. Szereg funkcyjny (potęgowy)
  • 3. Szereg funkcyjny (potęgowy)

3.1.

Szereg funkcyjny (potęgowy)

Materiał wizualizuje zbieżność szeregu funkcyjnego. Dany jest szereg funkcyjny, którego N-ta suma częściowa jest zaznaczona na zielono oraz funkcja [math]f[/math] (wykres zaznaczony na fioletowo). Widać, że na pewnym obszarze szereg jest zbieżny do funkcji f, w punktach spoza zbioru jest rozbieżny.

Zmieniaj parametr N, aby wyznaczyć wykres N-tej sumy częściowej podanego szeregu. Zobacz, jak na obszarze zbieżności wykres sumy częściowej zbliża się do wykresu funkcji f. Zobacz, jak zachowuje się funkcja poza obszarem zbieżności.
– Mateusz Maciejewski

3.2.

–

3.3.

–

4.

Szeregi Fouriera

  • 1. Szereg Fouriera (sygnał prostokątny)
  • 2. Szereg Fouriera (sygnał trójkątny)
  • 3. Szereg Fouriera (sygnał piłowy)
  • 4. Szereg Fouriera (f(x)=x^2)

4.1.

Szereg Fouriera (sygnał prostokątny)

– Mateusz Maciejewski

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

5.

Funkcje uwikłane

  • 1. Funkcje uwikłane

5.1.

Funkcje uwikłane

Materiał przybliża pojęcie funkcji uwikłanej. Dane jest równanie [math]g(x,y)=x^2-x^4-y^2=0[/math]. Wokół każdego punktu poza (0,0) na zbiorze rozwiązań, można wyznaczyć jednoznacznie zmienną y jako funkcję zmiennej x lub odwrotnie. W punkcie (0,0) zbiór rozwiązań ,,się rozgałęzia" i jest to jedyny punkt na zbiorze rozwiązań, gdzie [math]\nabla g(x,y)=(0,0)[/math].

Przesuwając punkt po zbiorze rozwiązań (zbiór w kształcie znaku [math]\infty[/math]), zobacz wykres funkcji uwikłanej, przechodzący przez dany punkt. Zauważ, że czasem jest to wykres funkcji y(x), a czasem x(y).
– Mateusz Maciejewski

6.

Ekstrema warunkowe

  • 1. Metoda mnożników Lagrange'a
  • 2. Parametryzacja a ekstrema warunkowe

6.1.

Metoda mnożników Lagrange'a

Materiał przybliża zagadnienie ekstremum warunkowego, a dokładniej: metody Lagrange'a znajdowania ekstremów.[br]Okrąg [math]S=\{(x,y)\ |g(x,y)=1\}[/math], gdzie [math]g(x,y)=x^2+y^2[/math] jest zbiorem, na którym szukamy ekstremów funkcji [math]g[/math], której poziomice to zaznaczone parabole.
Metoda mnożników Lagrange'a
Poruszaj czerwonym punktem po zbiorze S (czyli okręgu). Zobacz kształt poziomicy funkcji f przechodzącej przez ten punkt. Zobacz, jak zmieniają się gradienty funkcji f i g. Zobacz, w których miejscach gradienty są do siebie równoległe. Zobacz, w jaki sposób stykają się tam poziomice.[br]Zbiór punktów na płaszczyźnie, gdzie gradienty funkcji f i g są równoległe, jest zaznaczony linią przerywaną.
– Mateusz Maciejewski

6.2.

–

7.

parametryzacje

  • 1. parametryzacja biegunowa
  • 2. rzut stereograficzny
  • 3. parametryzacja sferyczna

7.1.

parametryzacja biegunowa

Materiał wyjaśnia pojęcie parametryzacji, na przykładzie parametryzacji biegunowej. Dla danej pary parametrów [math](r,\alpha)\in[0,1]\times[0,2\pi][/math], wartość [math]\sigma(r,\alpha)[/math] to punkt na kole jednostkowym, odległym od środka okręgu o r i takim, że półprosta o początku w punkcie (0,0) i przechodząca przez ten punkt tworzy z dodatnią półosią OX kąt [math]\alpha[/math].

Zmieniaj wartość parametów. Zobacz, jak zmienia się położenie punktu w zbiorze parametrów (prostokąt) oraz punkt na kole, będący wartością parametryzacji. Zobacz, że parametryzacja przekształca linie proste równoległe do osi układu współrzędnych, na proste przechodzące przez środek układu współrzędnych oraz na okręgi.
– Mateusz Maciejewski

7.2.

–

7.3.

–

Information