Die Beschreibung von geometrische Punktmengen (z.B. Geraden, Ebenen usw.) folgen  unterschiedlichen Betrachtungsweisen. [br][br]Ich kann angeben, wie die zusammengehörenden Punkte berechnet werden. [br]Die Punkte X oder der Vektor [math]\vec{x}[/math] haben 3-dimensionale Koordinaten X=(x,y,z) bzw.[br][math]\vec{x}=\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)[/math].[br]Die Punktmenge einer Ebene beschreibe ich dann z.B. durch 3 Vektoren [math]\vec{o},\vec{r_1},\vec{r_2}[/math] mittels der Vorschrift [math]E: \vec{x}=\vec{o}+t\cdot\vec{r_1}+s\cdot\vec{r_2}[/math], d.h. vom Ursprung gibt [math]\vec{o}[/math] einen Punkt O der Ebene vor an den t,s vielfache der Richtungsvektoren [math]\vec{r_1}[/math] und [math]\vec{r_2}[/math] angehängt werden. Jedes Element der Punktmenge [math]\vec{x}[/math] lässt sich durch spezielle Werte für t,s beschreiben. [br] [br]Ich kann aber auch die Eigenschaften dieser Punkte, ausgedrückt durch ihre Koordinaten(gleichung), beschreiben (multipliziere Paramterform mit Normalenvektor):[br][br][math]\vec n\cdot\vec x=\vec n\cdot(\vec o+\lambda\cdot \vec r_1+\mu\cdot\vec r_2)=\vec n\cdot\vec o+\lambda\cdot\underbrace{\vec n\cdot \vec r_1}_{=\vec 0}+\mu\cdot\underbrace{\vec n\cdot\vec r_2}_{=\vec 0}\implies \vec n\cdot\vec x=\vec n\cdot\vec o\;\implies\;\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\vec n\cdot\vec o\;\implies\; n_1x+n_2y+n_3z=\vec n\cdot\vec a[/math][br][br] [math]E: n_1\cdot x+n_2\cdot y+n_3\cdot z=d[/math], [br]d.h. ein Punkt X=(x,y,z) der die Eigenschaft E erfüllt ist ein Element der beschriebenen Menge. [br]Betrachte ich Vektoren, [math]\vec{X}=\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)[/math], lässt sich die Koordinatengleichung E auch als Skalarprodukt [math]E:\left(\begin{matrix}n_1\\n_2\\n_3\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)=d[/math] [br]schreiben. [math]\vec{X}[/math], als Vektor, zeigt vom Ursprung auf den Punkt X der Ebene. Konstruieren wir einen Vektor der Ebene indem wir einen Ebenenpunkt, z.B. O, nehmen und einen Vektor [math]\vec{OX}=\left(\vec{x}-\vec{o}\right)[/math] bilden, der in der Ebene liegt, dann haben wir die Normalenform einer Ebene:[br][math]\vec{n}\cdot\left(\vec{x}-\vec{o}\right)=0[/math] oder [math]\left(\begin{matrix}n_1\\n_2\\n_3\end{matrix}\right)\cdot\left(\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}o_1\\o_2\\o_3\end{matrix}\right)\right)=0[/math] (n = Normalenvektor, o = Ortsvektor oder Stützvektor). Alle diese Schreibweisen haben je nach Aufgabenstellung ihre spezifische Bedeutung. Sie sollten zwischen den Formen bei Bedarf wechseln können.