Es sei [math]t\mapsto z\left(t\right)[/math] eine genügend oft differenzierbare Kurve [math]C[/math] in [math]\mathbb{C}[/math], die an keiner Stelle des Definitionsbereichs stationär ist, dh. es ist also stets [math]z'\left(t\right)\ne0[/math].[br]Oder es sei [math]z\mapsto f\left(z\right)[/math] eine komplex differenzierbare Funktion mit [math]f'\left(z\right)\ne0[/math] im Definitionsbereich [math]D_f\subset\mathbb{C}[/math]. [br][br][math]\mathbf\vec{p}_0,\;\mathbf\vec{g}_0,\; \mathbf\vec{p}_\infty[/math] sei das euklidische Koordinatensystem mit der Zuordnung [math]0 \equiv \mathbf\vec{p}_0,\; \infty \equiv \mathbf\vec{p}_\infty[/math] und [list][*][math] z \equiv \mathbf\vec{p}(z)=\frac{z^2}{2}\cdot \mathbf\vec{p}_\infty+z\cdot \mathbf\vec{g}_0+ \mathbf\vec{p}_0 [/math].[/*][/list] Dann erfüllen [math]\mathbf\vec{p}_C(t):=\frac{1}{z'(t)\cdot}\mathbf\vec{p}(z(t))[/math] bzw. [math]\mathbf\vec{p}_f(z):=\frac{1}{f'(z)\cdot}\mathbf\vec{p}(f(z))[/math] die Tangentenbedingung: [list][*][math]\mathbf\vec{p}\,'\bullet\mathbf\vec{p}\,'=-1\mbox{ und }\left[\,\mathbf\vec{p}\,',\mathbf\vec{p}\,\right]=\mathbf\vec{p}[/math].[/*][/list]Das bedeutet geometrisch: die Berührgeradenvektoren sind Tangentialvektoren entlang der reellen bzw. der komplexen Kurve auf der Möbius-Quadrik![br][br]Wenn man die Paare [math](z,w)[/math] in der Gaussschen Zahlenebene als [i]Tangentialvektoren[/i] deutet, so entsprechen diesen auf der Möbiusquadrik in einem euklidischen KOS die Berührgeradenvektoren [math]\frac{1}{w}\cdot\mathbf\vec{p}(z)[/math]. Formal kann man [i]Tangentialvektoren [/i][math](z,w)[/math] als die Gesamtheit aller Kurven [math]z(t)[/math] deuten, die im Punkt [math]z=z(t)[/math] die Ableitung [math]z'(t)=w[/math] besitzen.[br]Im Applet unten werden die Kurvenscharen [math]x\mapsto tan\left(w\cdot\left(x+i\cdot y\right)\right)[/math], [math]y=const[/math] für verschiedene [math]w\in\mathbb{C}[/math] angezeigt. Die Kurven sind [b][i]Loxodrome[/i][/b], das sind die [i]Isogonaltrajektorien[/i] der Kreise durch [math]i[/math] und [math]-i[/math].[br][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size]