Teoremi delle funzioni continue
Table of Contents
- Le funzioni continue
- Definizione di funzione continua
- Esempi di funzioni continue
- I teoremi delle funzioni continue
- Teorema di Weierstrass
- Teorema di Darboux
- Controesempi
- Corollario degli zeri
- Esercizi
- Sul corollario degli zeri
- Soluzioni
- Sui teoremi di Weierstrass e Darboux
- Soluzioni
Definizione di funzione continua
Definizione: FUNZIONE CONTINUA IN UN PUNTO[br]Una funzione si dice continua in un punto [math]x_0[/math]se esiste [math]lim_{x\longrightarrow x_0}f\left(x\right)=f\left(x_0\right)[/math].[br][br]Perchè una funzione sia continua in [math]x_0[/math]è perciò necessario che:[br]- la funzione sia definita in [math]x_0[/math] (e abbia valore [math]f\left(x_0\right)[/math][br]- esista il limite della funzione per [math]x\longrightarrow x_0[/math][br]- il valore del limite sia uguale al valore della funzione.[br][br]Definizione: FUNZIONE CONTINUA IN UN INTERVALLO[br]Una funzione si dice continua in un intervallo I se è continua in tutti i punti dell'intervallo.
Teorema di Weierstrass
Se una funzione è continua su un intervallo chiuso e limitato [math]\left[a;b\right][/math], allora la funzione ammette un massimo assoluto [i]M [/i]e un minimo assoluto [i]m [/i]nell'intervallo [math]\left[a;b\right][/math][br][br]M si dice massimo assoluto per la funzione sull'intervallo [math]\left[a;b\right][/math] se [math]\forall c\in\left[a;b\right][/math]si ha [math]f\left(c\right)\le M[/math].[br]m si dice minimo assoluto per la funzione sull'intervallo [math]\left[a;b\right][/math] se [math]\forall c\in\left[a;b\right][/math] si ha [math]f\left(c\right)\ge m[/math][br][br][br]I grafici seguenti mostrano funzioni continue che soddisfano il teorema di Weierstrass.[br][br]
Funzione di III grado - massimi e minimi relativi e assoluti, interni e negli estremi dell'intervallo.
Individua i punti in cui la funzione di III grado (grafico precedente) assume massimo e minimo [b]assoluti[/b]:
Funzione di II grado - estremi variabili
Sul corollario degli zeri
Per risolvere i seguenti problemi puoi fare uso dell'applet Geogebra.[br][br]1) Data la funzione [math]f\left(x\right)=x^2-4x-12[/math], verifica le ipotesi del corollario degli zeri sull'intervallo [math]\left[0,7\right][/math]. La funzione ammette zeri in tale intervallo?[br][br]2) Data la funzione [math]f\left(x\right)=\frac{x-5}{x+3}[/math], verifica le ipotesi del corollario degli zeri nell'intervallo [math]\left[-4,2\right][/math]. La funzione ammette zeri in tale intervallo? Cosa puoi dire sulla stessa funzione nell'intervallo [math]\left[2,4\right][/math]? E nell'intervallo [math]\left[4,8\right][/math]?[br][br]3) Dimostra che l'equazione [math]x^2-2x-8=0[/math] ha almeno una soluzione nell'intervallo [math]\left[0,5\right][/math].[br][br]4) Dimostra che l'equazione [math]x^{2017}+x=1[/math] ha almeno una soluzione nell'intervallo [math]\left[0,1\right][/math].