[size=100]Az alábbi feladattal mintegy 10 éve találkoztam először. László István, az Euklides c dinamikus geometriai program szerzője vetette fel azzal, hogy nem talált rá  kellően elegáns elemi megoldást. Én sem találtam. Most  - úgy hiszem - sikerült.  [br][br]         [i]Szilassi Lajos[/i][br][/size][br][b][br][size=100]A feladat: [/size][/b][size=100]Mi azon pontok mértani helye a síkban, amelyekből egy ellipszis derékszög  alatt látszik?[/size][br][br][size=100][b]Sejtés:[/b]Adjunk meg egy ellipszist két fókuszával és a kistengelyének az egyik végpontjával. Arra gondolva, hogy ha az ellipszis körré, vagy egy szakasszá fajul, akkor a keresett mértani hely egy kör lesz, könnyen eljuthatunk ahhoz a sejtéshez, hogy a keresett mértani hely általános esetben is kör, mégpedig az ellipszis köré írt bármely téglalap köré irt köre. Sejtésünket megerősítheti ez a[br] [/size][size=100]GeoGebra fájl :[/size]

[size=100]Lényegében azt kell belátnunk, hogy egy adott ellipszis bármely köréírt téglalapjának ugyanaz a középpontja, és ugyanakkora az átlója.[br][/size][br][size=100][b]Bizonyítás: [/b]Az ellipszist a szokásostól kissé eltérő módon most adjuk meg úgy, mint egy [i]k(O,r)[br] [/i]körvonaltól, és e körlap belső [i]F[/i] pontjától egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét. [br][br]Legyen [i]V[/i] a [i]k[/i] kör egy tetszőleges pontja, [i]P [/i]az [i]OV[/i] szakasznak [i]F-[/i]től és [i]V[/i]-től egyenlő távolságra levő pontja. Mivel [i]FP=VP, FP+PO=VO = r[/i], így a [i]P[/i] pont az [i]F[/i] és [i]O [/i]fókuszú [i]r [/i]nagytengelyű  [i]e [br][/i]ellipszist írja le, miközben [i]V[/i] körbefut [i]k[/i]-n. A [i]VF [/i]szakasz [i]p[/i] felezőmerőlegese az [i]e[/i] ellipszis [i]P[/i]-be húzott érintője, hiszen pontosan egy közös pontja van [i]e[/i]-vel.[/size]

[size=100]Eljárásunkat most alkalmazzuk arra, hogy szerkesszük meg az így kapott ellipszis egy[/size][br][size=100]általános helyzetű köré írt téglalapját, felvéve a [/size][i]k [/i][size=100]kör két, egymásra merőleges húrját. Az így kapott [/size][i]V[sub]1[/sub]V[sub]2[/sub]V[sub]3[/sub]V[sub]4[/sub][/i][size=100]  húrnégyszög oldalfelező pontjai lesznek e téglalap csúcsai.[/size]

[size=100]A téglalap középpontja biztosan egybeesik az ellipszis középpontjával, mivel az ellipszis[/size][br][size=100]egymással párhuzamos érintői egymásnak az ellipszis középpontjára vonatkozó [/size][size=100]tükörképei. [br]Így már csak azt kell igazolnunk, hogy bármely így kapott téglalap [/size][size=100]átlója ugyanakkora.[/size][br][br][size=100]Ez pedig igaz, mivel a körlap egy [/size][i]F[/i][size=100] pontjára illeszkedő két egymásra merőleges (fél)húr  hosszának a négyzetösszege, így az [/size][size=100]ellipszis köré írt téglalapok átlójának a hossza nem függ e húrok irányától, csak a [/size][i]k[/i][size=100] kör sugarától és a [/size][i]d =[/i] [i]OF[/i][size=100] szakasz hosszától: [/size][size=100]     [/size][url=file:///E:/!%20Munka/!%20Permanens%20fejleszt%C3%A9sek/GeoGebra%202015/Csemege/Ellipszis%20l%C3%A1t%C3%B3sz%C3%B6ge/E%204.ggb][br][br][math](\frac{h_1}{2})^2+(\frac{h_2}{2})^2=(r^2-y^2)+(r^2-x^2)=2r^2-(x^2+y^2)=2r^2-d^2[br][br][/math][/url][size=100][br][br]Ezt kellett igazolnunk.[/size]

[b]Megjegyzés:[/b][size=100] Úgy tűnik, a derékszögtől eltérő látószögű mértani hely (elemi úton) jóval nehezebben határozható meg: [/size]

[size=100]Kissé tovább boncolva az eredeti problémánkat, vizsgáljuk meg, mi azon pontok mértani helye a síkban, ahonnan egy [b]parabola[/b] adott szög alatt látszik![br][/size][br][size=100]A parabola definíciójából viszonylag könnyen levezethető, hogy éppen a vezéregyenesére illeszkedő pontokból látszik derékszög alatt.[br][br][/size]M[size=100]i a keresett mértani hely, ha az adott szög nem derékszög? (E mértani hely megszerkesztését önálló feladatként tűzzük ki a szép feladatokra fogékony olvasóink számára.)[br][br]Vajon igaz-e, hogy az általános esetben  a keresett mértani hely egy hiperbola egyik fele? [br][/size]

[size=100]Vizsgáljuk tovább a kérdést![br][br]Mi azon pontok mértani helye a síkban, ahonnan egy[b] hiperbola [/b]adott szög alatt látszik?[br][br]Igaz e- hogy ha az adott szög 90°, akkor a keresett mértani hely ugyancsak egy kör? Próbáljuk ezt is igazolni.[br][br]Úgy tűnik, az általános eset hasonlóan kellemetlen mértani hely, mint azt az ellipszisnél láttuk.[br][br]Ismét olvasóinkra bízzuk, hogy kíséreljék meg önállóan megszerkeszteni a keresett mértani helyet.[/size]

[size=100] Mint a matematikában a legtöbbször, itt is kínálkozik a térbeli általánosítás lehetősége.[br][br]Gaspard Monge (1746-1818), akinek a nevéhez fűződik a  két képsíkos ábrázolás néven ismert ábrázoló geometriai módszer, igazolta, hogy azon derékszögű testszögletek csúcsainak a mértani helye, amelyek lapjai érintenek egy másodrendű felületet, [b] gömb.[/b][br][br]Ez azt jelenti, hogy ha pl. az ellipszis térbeli analogonjaként kapott ellipszoid ("szappan alakú" mértani test) köré írt [u]bármely [/u]téglatest köré írt gömb ugyanaz. [br][br]Róla mondta egy kortársa  (Lagrange), hogy az analízis geometriai alkalmazásával ez az ördögi  elme halhatatlanságot fog szerezi magának.[br][br]Manapság már nem gondolnánk, hogy az analízis geometriai alkalmazása ördögi találmány.[br][br]A GeoGebra sem az. [/size]